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$m$ étant un coefficient constant, ce qui donne $\mathrm {V} ''=m\mathrm {X} ''\,;$ car, substituant ces valeurs, l’équation se réduit à

$\left(1+m^{2}\right)\mathrm {X} '^{3}=0\,;$

donc

$1+m^{2}=0\quad {\text{et}}\quad m={\sqrt {-1}}.$

Ainsi l’on aura

$\mathrm {V'=X'} {\sqrt {-1}},$

et de là, en remontant à l’équation primitive,

$\mathrm {V=X} {\sqrt {-1}}+a,$

$a$ étant une constante arbitraire ; donc

$e^{\mathrm {V} }=e^{a+\mathrm {X} {\sqrt {-1}}}=e^{a}e^{\mathrm {X} {\sqrt {-1}}}=\mathrm {A} e^{\mathrm {X} {\sqrt {-1}}},$

en faisant $e^{a}=\mathrm {A}$ pour plus de simplicité.

On aura donc

$y=\mathrm {A} e^{\mathrm {X} {\sqrt {-1}}},$

et, comme le radical ${\sqrt {-1}}$ peut être pris également en plus et en moins, on aura également

$y=\mathrm {B} e^{-\mathrm {X} {\sqrt {-1}}},$

$\mathrm {B}$ étant une autre constante arbitraire ; en effet, il est aisé de voir que chacune de ces deux valeurs satisfait à l’équation

$\mathrm {X} 'y''-\mathrm {X} ''y'+\mathrm {X} '^{3}y=0,$

et l’on voit aussi facilement que leur somme y satisfait encore, parce que les quantités $y,y',y''$ n’y sont que sous la forme linéaire, de sorte qu’on aura, en général,

$y=\mathrm {A} e^{\mathrm {X} {\sqrt {-1}}}+\mathrm {B} e^{-\mathrm {X} {\sqrt {-1}}},$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant de nouveau deux coefficients indéterminés comme ci-dessus.

Cette expression de $y$ convient également à $\sin \mathrm {X}$ et à $\cos \mathrm {X} \,;$ la diffé-