Donc, si l’on n’a pour la détermination d’une fonction qu’une équation du premier ordre, ou du second, ou etc., l’équation primitive, prise dans toute sa généralité, devra contenir une constante arbitraire, ou deux, etc., suivant l’ordre de l’équation donnée, et l’on déterminera ces constantes par des valeurs particulières données de la fonction ou de ses dérivées.
Si donc on trouve d’une manière quelconque une équation en et qui satisfasse à une équation donnée d’un ordre quelconque et qui renferme autant de constantes arbitraires qu’il y a d’unités dans l’indice de cet ordre, on en conclura que cette équation sera l’équation primitive de l’équation donnée et pourra, dans tous les cas, être employée à la place de celle-ci.
47. Au lieu d’éliminer à la fois les deux constantes et des trois équations on peut n’éliminer d’abord que la constante ou des deux premières ; on aura ainsi deux équations du premier ordre, dont l’une ne renfermera que la constante et l’autre la constante Si maintenant on élimine de chacune de ces équations la constante ou par le moyen de son équation prime, on aura deux équations du second ordre sans ni qui devront coïncider avec l’équation résultante de l’élimination simultanée de ces constantes par le moyen des trois équations parce que la valeur de que ces équations du second ordre donneront, et qui sera exprimée en et sans ni ne peut qu’être la même, de quelque manière qu’elle soit déduite de l’équation primitive.
D’où l’on peut conclure qu’une équation du second ordre peut être dérivée de deux équations différentes du premier ordre renfermant chacune une constante arbitraire de plus.
Et l’on prouvera de la même manière qu’une équation du troisième ordre pourra être dérivée de trois équations différentes du second ordre renfermant chacune une constante arbitraire, et ainsi de suite.
En même temps on voit que, si pour une équation donnée du second
