Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 9.djvu/92

la caractéristique $\operatorname {l}$ indiquant les logarithmes hyperboliques, d’où l’on tire ${\frac {y}{x}}=a,$ comme plus haut.

En général, si l’on peut réduire l’équation à la forme

$f(x)+y'\operatorname {F} (y)=0,$

où les variables sont séparées, il n’y aura qu’à prendre les fonctions primitives de $f(x)$ et de $y'\operatorname {F} (y),$ et faire la somme égale à une constante arbitraire $a,$ et la même chose aura lieu si l’on peut ramener la proposée à cette forme par une substitution quelconque.

Soit, par exemple, une équation de la forme

$y'=f\left({\frac {y}{x}}\right).$

Je fais ${\frac {y}{x}}=u\,;$ donc $y=xu,$ $y'=xu'+u,$ et l’éguation devient, par ces substitutions,

$xu'+u=f(u),$

laquelle peut se mettre sous la forme

${\frac {1}{x}}+{\frac {u'}{u-f(u)}}=0,$

qui est comprise dans la précédente.

Si l’on avait l’équation

$y=xf(y'),$

au lieu de la réduire à la forme précédente, j’en prendrais les fonctions primes, ce qui me donnerait

$y'=xy''f'(y')+f(y'),$

équation réductible à la forme

${\frac {1}{x}}+{\frac {y''f'(y')}{f(y')-y'}}=0,$

et qui, en faisant $y'=u,$ rentre encore dans le cas précédent. Ayant trouvé ainsi une équation primitive entre $x$ et $u$ avec une constante arbitraire, c’est-à-dire entre $x$ et $y',$ on chassera $y'$ par le moyen de la