Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 9.djvu/95

Pour cela, on supposera $f'(x)=\operatorname {F} (x)\,;$ de là on aura

$f''(x)=\operatorname {F} '(x),\quad f'''(x)=\operatorname {F} ''(x),\quad \ldots .$

Donc la valeur de $f(x),$ fonction primitive de $\operatorname {F} (x),$ sera représentée ainsi,

$f(x)=f+x\operatorname {F} +{\frac {x^{2}}{2}}\operatorname {F} '+{\frac {x^{3}}{2.3}}\operatorname {F} ''+\ldots ,$

les quantités $f,\mathrm {F} ,\mathrm {F} ',\ldots$ étant les valeurs de $f(x),\operatorname {F} (x),\operatorname {F} '(x),\ldots$ lorsque $x=0,$ où l’on voit que $f$ sera une constante indéterminée.

53. Si, pour une équation proposée d’un ordre quelconque, on parvient à trouver une équation d’un ordre inférieur qui ne renferme point de constantes arbitraires ou qui n’en renferme pas autant qu’il peut y en avoir, alors cette équation ne pourra pas être regardée comme une équation primitive complète, mais elle ne sera qu’un cas particulier de cette équation, dans lequel on aurait donné aux constantes arbitraires des valeurs particulières.

Mais il y a un cas très-étendu, dans lequel il suffit d’avoir plusieurs valeurs particulières de $y$ en $x$ pour pouvoir en obtenir la valeur complète c’est celui où l’équation d’un ordre quelconque ne renferme les $y,y',y'',\ldots$ que sous la forme linéaire.

Soit, en effet, proposée l’équation

$\mathrm {A} y+\mathrm {B} y'+\mathrm {C} y''+\mathrm {D} y'''+\ldots =0,$

dans laquelle $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ soient des fonctions données de $x$ seul. Soient $p,q,r,\ldots$ des fonctions différentes de $x$ qui, étant substituées pour $y,$ satisfassent chacune en particulier à cette équation. Je dis que l’on aura, en général,

$y=ap+bq+cr+\ldots ,$

$a,b,c,\ldots$ étant des constantes arbitraires, ce qui est évident, car cette expression de $y,$ étant substituée dans la même équation, $y$ satisfera indépendamment des constantes. D’où il suit que, si le nombre des valeurs particulières $p,q,r,\ldots$ est égal à celui de l’ordre de l’équa-