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Je suppose derechef $a'p'+b'q'+c'r'=0\,;$ j’aurai simplement

$y''=ap''+bq''+cr'',$

d’où je tire, en prenant encore les fonctions primes,

$y'''=ap'''+bq'''+cr'''+a'p''+b'q''+c'r''.$

Je substitue maintenant les valeurs de $y,y',y''$ et $y'''$ dans l’équation proposée ; il est visible que, par la nature des quantités $p,q,r,$ les termes qui contiendront $a,b,c$ se détruiront, et il ne restera que l’équation

$a'p''+b'q''+c'r''=\mathrm {X} ,$

qui, étant combinée avec les deux équations supposées

${\begin{aligned}&a'p\ +b'q\ +c'r\ =0,\\&a'p'+b'q'+c'r'=0,\end{aligned}}$

servira à déterminer les trois quantités $a',b',c',$ les quantités $p,q,r$ et leurs fonctions primes et secondes étant connues, ainsi que la quantité $\mathrm {X} .$

Supposons donc qu’on ait trouvé $a'=\mathrm {P} ,$ $b'=\mathrm {Q} ,$ $c'=\mathrm {R} \,;$ ces quantités $\mathrm {P,Q,R}$ étant des fonctions connues de $x,$ il n’y aura qu’à les regarder comme des fonctions primes et en chercher les fonctions primitives, qui contiendront chacune une constante arbitraire qui pourra lui être ajoutée. On aura ainsi les valeurs des inconnues $a,b,c$ qu’on substituera ensuite dans l’expression de $y.$

55. Lorsque l’équation n’est que du premier ordre, on n’a besoin que d’une valeur $p,$ et l’on peut toujours la trouver, car on a alors l’équation

$\mathrm {A} p+p'=0,$

à laquelle satisfait cette valeur $p=e^{-\mathrm {M} },$ $\mathrm {M}$ étant la fonction primitive de $\mathrm {A} ,$ de manière que $\mathrm {M'=A} ,$ et $e$ dénotant toujours le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité ; en effet, on aura, en prenant les fonctions primes,

$p'=-\mathrm {M} 'e^{-\mathrm {M} }=-\mathrm {A} p.$