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Maintenant je regarde $x$ comme une fonction de $z\,;$ il faudra mettre ${\frac {1}{x'}}$ à la place de $z'$ (n^o 50), et il viendra l’équation

$xf'(z)+\left[f(z)-z\right]x'+\operatorname {F} '(z)=0,$

qui est, comme l’on voit, du premier ordre et linéaire en $x.$ On pourra donc, par la méthode précédente, en trouver l’équation primitive en $x$ et $z\,;$ mais la proposée, par la substitution de $z$ au lieu de $y',$ devient

$y=xf(z)+\operatorname {F} (z)\,;$

éliminant donc $z$ de ces deux équations, on aura une équation en $x$ et $y,$ qui sera l’équation primitive de l’équation proposée.

Le second cas est celui de l’équation

$y'+\mathrm {M} y^{2}+\mathrm {N} =0,$

$\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ étant des fonctions $x.$ Ici je fais $y={\frac {z'}{\mathrm {M} z}},$ ce qui donne

$y'={\frac {z''}{\mathrm {M} z}}-{\frac {z'^{2}}{\mathrm {M} z^{2}}}-{\frac {z'\mathrm {M} '}{\mathrm {M} ^{2}z}}\,;$

substituant ces valeurs et multipliant par $\mathrm {M} z,$ l’équation devient

$z''-{\frac {\mathrm {M} 'z'}{\mathrm {M} }}+\mathrm {MN} z=0,$

qui est, comme l’on voit, du second ordre, mais linéaire par rapport à $z.$

Supposons qu’on ait trouvé d’une manière quelconque deux valeurs particulières de $y$ en $x,$ c’est-à-dire sans constante arbitraire, que nous dénoterons par $p$ et $q.$ Pour la valeur $p,$ on aura ${\frac {z'}{\mathrm {M} z}}=p,$ d’où l’on tire $z=e^{\mathrm {P} },$ en dénotant par $\mathrm {P}$ la fonction primitive de $p\mathrm {M} \,;$ on aura de même, pour la valeur $q,$ $z=e^{\mathrm {Q} },$ $\mathrm {Q}$ étant la fonction primitive de $q\mathrm {M} .$ Ayant ainsi deux valeurs particulières de $z,$ on aura la valeur complète (n^o 53)

$z=ae^{\mathrm {P} }+be^{\mathrm {Q} },$