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$a$ et $b$ étant deux constantes arbitraires ; donc, puisque $y={\frac {z'}{\mathrm {M} z}}$ et que $\mathrm {P} '=p\mathrm {M} ,\ \mathrm {Q} '=q\mathrm {M} ,$ on aura cette valeur complète de $y,$

$y={\frac {ape^{\mathrm {P} }+bqe^{\mathrm {Q} }}{ae^{\mathrm {P} }+be^{\mathrm {Q} }}},$

c’est-à-dire, en faisant ${\frac {b}{a}}=c,$

$y={\frac {p+cqe^{\mathrm {Q-P} }}{1+ce^{\mathrm {Q-P} }}},$

où $c$ est la constante arbitraire.

Par exemple, si $\mathrm {N} =-m\mathrm {M} ,$ $m$ étant une constante, il est aisé de voir que l’on satisfera à la proposée en $y$ en faisant $y={\sqrt {m}},$ et, à cause de l’ambiguïté du radical, on aura

$p={\sqrt {m}},\quad q=-{\sqrt {m}}\,;$

donc, nommant $\mathrm {L}$ la fonction primitive de $\mathrm {M} ,$ on aura

$\mathrm {P=L} {\sqrt {m}},\quad \mathrm {Q=-L} {\sqrt {m}},$

et la valeur complète de $y$ sera

${\frac {\left(1-ce^{-2\mathrm {L} {\sqrt {m}}}\right){\sqrt {m}}}{1+ce^{-2\mathrm {L} {\sqrt {m}}}}}.$

Au reste, dans ce cas, l’équation proposée peut se mettre sous la forme

${\frac {y'}{y^{2}-m}}+\mathrm {M} =0,$

où les variables $x$ et $y$ sont séparées, et dont on peut trouver l’équation primitive, comme nous l’avons montré plus haut.

57. Lorsque l’équation proposée n’est pas linéaire en $y,y',y'',\ldots$ ou qu’elle n’est pas comprise sous la forme précédente, je ne connais aucune méthode générale pour compléter les valeurs particulières de $y$ qu’on aurait trouvées ; mais on y peut toujours parvenir par le moyen des séries.