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tion H de la première droite mobile avec la droite fixe DZ, qui répond à cette position, sera celui qu’il s’agissait de trouver. Car on aura $AD:DH=HZ:ZE$ ; donc \overline{\text{MN}}^2 : ${\overline {\text{MN}}}^{2}={\overline {\text{MN}}}^{2}:{\overline {\text{MN}}}^{2}=HZ=ZC$ ; mais $AD=BD$ et $ZC=ZT$ ; donc ${\overline {\text{BD}}}^{2}:{\overline {\text{DH}}}^{2}=HZ:ZT$ ; c. q. f. d.

Examinons cette solution. Désignons comme ci-dessus BD, TZ, DZ, DH par a, b, c, x respectivement ; il s’agit de construire l’équation

1) $x^{2}-cx^{2}+a^{2}.b=0$.

La construction du géomètre arabe revient virtuellement à ceci : de construire la courbe lieu géométrique des pieds de toutes les perpendiculaires abaissées du point C sur toutes les tangentes d’une parabole dont A est le foyer, et DC la tangente au sommet ; puis de couper cette courbe par une droite perpendiculaire à DC au point Z. En d’autres termes, prenant le point C pour origine des coordonnées, on combine la courbe

1) $y^{2}+x'^{2}y-(b+c)x'y+ax'^{2}=0$

avec la droite $x'=b$, ce qui, lorsqu’au moyen de la relation $a:x=y:x'=y:b$, on introduit encore $x$ en place de $y$, produit effectivement l’équation proposée.

Voici maintenant comment cette construction se rattache à celle donnée par Platon pour le problème des deux moyennes proportionnelles (*^[1]). La solution de Platon consiste en ce qu’on prend, sur les deux côtés d’un angle droit à partir du sommet B (fig. 33), deux segments BA, BΓ respectivement égaux aux deux lignes données, et que l’on trouve, à l’aide d’un instrument qu’il imagine pour cet effet, deux points E, Δ

1. *) Archim., éd. d’Oxf., p. 135.