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parallèles et défaillant d’un cube. Or j’ai eu besoin, pour effectuer ceci (*^[1]), de résoudre antérieurement un autre problème à la solution duquel on parvient sans difficulté, et que voici : »

« Étant données deux lignes AB et C (fig. 34), diviser AB au point D, en sorte que AD soit à C comme le carré de C au carré de BD. Et c’est ce dont on a besoin pour résoudre le problème dans la solution duquel échoua Almâhânî. »

« Mais cela n’est possible que lorsque la ligne C n’est pas plus grande que la ligne qui peut le solide ayant pour arête un tiers de AB et défaillant d’un (cube qui a pour base le) carré dont le côté est égal à deux tiers de AB (**^[2]), c’est-à-dire : la ligne qui peut quatre neuvièmes d’un tiers du cube de AB (***^[3]). »

« Toutefois supposons que C puisse être plus grande, ce qui sera plus général, et considérons AB dans deux cas, en

↑ *) Savoir, pour appliquer à une ligne donnée un parallélipipède de volume donné et défaillant d’un cube.
↑ **) Le ms. porte

On se serait attendu à trouver

Pour expliquer les termes employés dans le texte, rappelons d’abord que cette construction d’un parallélipipède appliqué à une ligne et défaillant d’un cube est calquée sur celle d’un rectangle appliqué à une ligne et défaillant d’un carré. (Eucl., VI, 28.) En effet, en désignant par l la ligue donnée, par v ou z le volume ou la surface donnés, la première construction s’exprimera par la formule $v=(l-x)x^{2}$ , la seconde par la formule $s=(l-x)x$ .

Donc, au lieu de parler du solide appliqué à la ligne αγ et défaillant du cube γδ, dont le côté est βγ, le géomètre arabe, en faisant abstraction de la hauteur commune γε, égale au côté du cube retranché, n’a en vue que la base αθ, qui dans cette construction est la partie essentielle de la figure, et appelle le solide « défaillant d’un carré dont le côté est βγ ». Ensuite remarquons que tandis que le solide αδ est, en effet, dans toute sa longueur appliqué à la ligue αγ, la ligne αγ n’est pas tout entière appliquée au solide αδ ; or la partie de celle ligne appliquée au solide , c’est αβ, l’arête du solide appliqué, et dans notre cas ${\tfrac {1}{3}}AB$ .
↑ ***) Condition : $C{\tfrac {=}{<}}{\sqrt[{3}]{(AB-{\tfrac {2}{3}}AB)({\tfrac {2}{3}}AB)^{2}}}$ ou $C{\tfrac {=}{<}}{\sqrt[{3}]{{\tfrac {4}{27}}{\overline {\text{AB}}}^{2}}}$ .

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[1] *) Savoir, pour appliquer à une ligne donnée un parallélipipède de volume donné et défaillant d’un cube.

[2] **) Le ms. porte

On se serait attendu à trouver

Pour expliquer les termes employés dans le texte, rappelons d’abord que cette construction d’un parallélipipède appliqué à une ligne et défaillant d’un cube est calquée sur celle d’un rectangle appliqué à une ligne et défaillant d’un carré. (Eucl., VI, 28.) En effet, en désignant par l la ligue donnée, par v ou z le volume ou la surface donnés, la première construction s’exprimera par la formule $v=(l-x)x^{2}$ , la seconde par la formule $s=(l-x)x$ .

Donc, au lieu de parler du solide appliqué à la ligne αγ et défaillant du cube γδ, dont le côté est βγ, le géomètre arabe, en faisant abstraction de la hauteur commune γε, égale au côté du cube retranché, n’a en vue que la base αθ, qui dans cette construction est la partie essentielle de la figure, et appelle le solide « défaillant d’un carré dont le côté est βγ ». Ensuite remarquons que tandis que le solide αδ est, en effet, dans toute sa longueur appliqué à la ligue αγ, la ligne αγ n’est pas tout entière appliquée au solide αδ ; or la partie de celle ligne appliquée au solide , c’est αβ, l’arête du solide appliqué, et dans notre cas ${\tfrac {1}{3}}AB$ .

[3] ***) Condition : $C{\tfrac {=}{<}}{\sqrt[{3}]{(AB-{\tfrac {2}{3}}AB)({\tfrac {2}{3}}AB)^{2}}}$ ou $C{\tfrac {=}{<}}{\sqrt[{3}]{{\tfrac {4}{27}}{\overline {\text{AB}}}^{2}}}$ .

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