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nous proposant dans l’un de retrancher BD de AB, et dans l’autre d’ajouter BD à AB, en sorte que AD soit à C comme le carré de C au carré de BD. »

Voici maintenant la solution que le géomètre arabe donne du problème ainsi posé, et que je ne reproduis pas textuellement, afin d’abréger.

Il fait BE = C, et construit sur BE comme base le carré BEZH. Il décrit une parabole dont le sommet est A, l’axe AB, et le paramètre C ; ensuite il fait passer par Z une hyperbole ayant EB, BH pour asymptotes. Les deux coniques se rencontrent nécessairement. Du point d’intersection T, on abaisse deux perpendiculaires TK, TD sur BH, BE. On aura en vertu de la parabole 1) $AD:TD=TD:C$ , en vertu de l’hyperbole $BK:BE=EZ:KT$ ou 2) $TD:C=C:BD$ . De la combinaison de 1) et 2) il suit $AD:TD=TD:C=C:BD$ ou AD : C = \overline{\text{C}}^2 : \overline{\text{BD}}^2 ; c. q. f. d.

Puis il en revient ainsi au problème principal :

« Après avoir résolu préalablement ce lemme, prenons AB dans les deux cas, et proposons-nous d’appliquer à AB un solide à côtés parallèles, égal à un solide donné, excédant ou défaillant d’un cube (*^[1]). Que la ligne C soit le côté d’un cube égal au solide donné. Dans l’un des deux cas retranchons de AB, et dans l’autre ajoutons à AB une ligne BD, telle que AD soit à C comme le carré de C au carré de BD. »

« (La possibilité de) cette construction n’est pas limitée au second cas, mais elle l’est nécessairement au premier. La limite, c’est que la ligne C ne soit pas plus grande que la ligne qui peut un cube égal à quatre neuvièmes d’un tiers du cube de AB, c’est-à-dire le solide ayant pour arête un tiers de AB

↑ *) Que le volume donné soit égal au cube \overline{\text{C}}^3. Au moyen du lemme on trouve AD, en sorte que AD. \overline{\text{BD}}^2 = \overline{\text{C}}^2 ; mais $AD=(AB{\tfrac {+}{-}}BD)$ ; donc AB. \overline{\text{BD}}^2 \tfrac{+}{-} \overline{\text{BD}}^2 égal au volume donné ; ce qu’il s’agissait d’obtenir.

[1] *) Que le volume donné soit égal au cube \overline{\text{C}}^3. Au moyen du lemme on trouve AD, en sorte que AD. \overline{\text{BD}}^2 = \overline{\text{C}}^2 ; mais $AD=(AB{\tfrac {+}{-}}BD)$ ; donc AB. \overline{\text{BD}}^2 \tfrac{+}{-} \overline{\text{BD}}^2 égal au volume donné ; ce qu’il s’agissait d’obtenir.

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