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lacune qui se trouve dans le second livre de l’ouvrage d’Archimède. Il a dit dans ce mémoire qu’il y a là trois constructions qui rentrent dans la même catégorie, dont la première est celle d’un segment de sphère qui, de deux autres segments de sphère, est égal à l’un et semblable à l’autre. La seconde, celle d’un segment de sphère dont la surface est égale à celle d’un autre segment de sphère, et qui est semblable à un second segment de sphère. La troisième, celle d’un segment de sphère égal à un autre segment de sphère, et dont la surface est égale à celle d’un second segment de sphère. Archimède résolut les deux premiers problèmes sans s’occuper du troisième, qui ne fut pas ajouté non plus aux deux autres par les géomètres qui lui succédèrent. Ensuite il (Alqoûhî) en donna la construction et la démonstration de la manière suivante. »

Énonçons avec un peu plus de précision et puis examinons préalablement les trois problèmes en question.

I. Construire un segment de sphère égal en volume à un segment de sphère donné, et semblable à un second segment de sphère donné. (Archim., Sph. et Cyl., II, 6.)

II. Construire un segment de sphère égal en surface (*^[1]) à un segment de sphère donné, et semblable à un second segment de sphère donné. (Archim., Sph. et Cyl., II, 7.)

III. Construire un segment de sphère égal en volume à un segment de sphère donné, et égal en surface à un second segment de sphère donné. (Alqoûhî.)

Désignons le rayon de la sphère à laquelle appartient le segment qu’il s’agit de construire par $r$, la distance du plan coupant au pôle du segment par Δ, on aura :

I. ${\tfrac {\pi }{3}}$ Δ $^{2}(3r-$ Δ) $=a$, Δ/r $=c$ ... $r={\sqrt[{3}]{\tfrac {3a}{\pi c^{2}(3-c)}}}$ Δ $={\sqrt[{2}]{\tfrac {3ac}{\pi (3-c)}}}$

1. *) Dans la surface du segment la base circulaire n'est pas comprise.