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II. $2\pi$ Δ $r=b$ , ${\tfrac {Delta}{r}}=c$ ... $r={\sqrt {\tfrac {b}{2\pi c^{2}}}}$ , Δ = ${\sqrt {\tfrac {bc}{2\pi }}}$

III. 1) ${\tfrac {\pi }{3}}$ Δ $^{2}(3r-$ Δ $)=a$ , $2\pi$ Δ $r=b$ .

Posons ${\tfrac {a}{b}}=a'$ , ${\tfrac {b}{\pi }}=b'$ ; il suit

3) Δ $^{2}-{\tfrac {3}{2}}b'$ Δ + 3 a' b' = 0, 4) $r^{2}-{\tfrac {b'}{4a'}}r^{2}+{\tfrac {b'^{2}}{24a'}}=0$ .

Comme il faut exclure les valeurs négatives de r et de Δ, et parmi les valeurs positives celles qui rendraient Δ $>2r$ (*^[1]), on trouve :

1° Que le problème n’a de solution que tant que $b'>18a'^{2}$ ;

2° Que lorsque $b'=18a'^{2}$ , le segment cherché est l’hémisphère (**<ref>**) Les deux équations se décomposent, en ce cas, de la manière suivante :

(Δ - ${\sqrt {\tfrac {b'}{2}}})^{2}$ (Δ $+{\sqrt {2b'}}=0$ et $(r-{\sqrt {\tfrac {b'}{2}}})^{2}$ $(r+{\tfrac {}{}}{\sqrt {2b'}})=0$ .

3° Que pendant que $36a'^{2}>b'>18a'^{2}$ , on obtient deux segments, dont l’un est plus et l’autre moins grand que la moitié de la sphère ;

4° Que lorsque $b'=36a'^{2}$ , il existe deux solutions dont l’une donne une sphère entière, l’autre un segment dont la hauteur rapportée à l’unité du rayon est égale à 0,268 environ ;

5° Enfin, que lorsque $b'>36a'^{2}$ , il n’y a qu’une seule solution et un seul segment plus petit que la moitié de la sphère.

Cet exposé rapide fait voir que le problème que se propose Alqoûhî est d’une difficulté supérieure aux deux premiers résolus par Archimède. Ce n’est même que grâce à la forme particulière des équations 1) et 2), que le problème ne conduit

↑ *) On discute facilement les deux équations proposées sous ce dernier rapport, en y substituant l à r, ce qui change la condition $b'>18a'^{2}$ dans $4>$ Δ (3 - Δ) $^{2}$ , et en examinant ensuite, à l’aide du théorème de M. Sturm, le nombre des racines réelles de l’équation Δ $^{2}$ - 6 Δ $^{2}$ + 9 Δ $-\epsilon =0$ (où $4>\epsilon >0$ ) comprises dans les deux intervalles de 0 à + 1 et de + l à + 2, en distinguant pour le second intervalle les cas $4>\epsilon >2$ , $2>\epsilon >0$ et $\epsilon =2$ ; dans ce dernier cas on aura Δ $^{3}-6$ Δ $^{2}+2$ + 9 Δ - 2 = (Δ - 2) . (Δ $-{\sqrt {3}}.($ Δ $-2+{\sqrt {3}})$ .

[1] *) On discute facilement les deux équations proposées sous ce dernier rapport, en y substituant l à r, ce qui change la condition $b'>18a'^{2}$ dans $4>$ Δ (3 - Δ) $^{2}$ , et en examinant ensuite, à l’aide du théorème de M. Sturm, le nombre des racines réelles de l’équation Δ $^{2}$ - 6 Δ $^{2}$ + 9 Δ $-\epsilon =0$ (où $4>\epsilon >0$ ) comprises dans les deux intervalles de 0 à + 1 et de + l à + 2, en distinguant pour le second intervalle les cas $4>\epsilon >2$ , $2>\epsilon >0$ et $\epsilon =2$ ; dans ce dernier cas on aura Δ $^{3}-6$ Δ $^{2}+2$ + 9 Δ - 2 = (Δ - 2) . (Δ $-{\sqrt {3}}.($ Δ $-2+{\sqrt {3}})$ .

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