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pas à une équation du sixième degré. Or le géomètre arabe ne résout pas seuleme.nt le problème, mais il en discute encore les cas particuliers tout aussi complétement qu’on vient de le faire. Pour arriver à ce résultat, il s’y prend de la manière suivante :

Il construit deux cônes tels que le premier soit égal en volume au premier segment de sphère donné, et que le second ait pour hauteur et pour rayon de sa base une droite égale à la droite HN, menée du pôle du second segment de sphère donné à un point quelconque de la circonférence de sa base (*^[1]). En désignant les volumes de ces deux cônes par C et C' respectivement, on aura $HN={\sqrt {b'}}$ et

$C=a$, $C'=3{\tfrac {b{\tfrac {3}{2}}}{3{\sqrt {\pi }}}}$.

Ensuite il prend une ligne $BK={\tfrac {3}{2}}.{\tfrac {C'}{C}}.HN={\tfrac {1}{2}}{\tfrac {b'}{a'}}$ et une ligne $S=HN.{\tfrac {C'}{C}}=3a'$. Avec ces données il construit deux coniques,

une hyperbole équilatère x . y = \overline{\text{HN}}^2

et une parabole $y'=(BK-x)S$.

L’intersection de ces deux coniques a pour ordonnée la hauteur du segment qu’il s’agit de construire, et pour abscisse le diamètre de la sphère à laquelle ce segment appartient (**^[2]).

Ce qu’il y a de remarquable ici, c’est la construction simultanée de deux équations renfermant deux inconnues, par l’intersection de deux coniques. Mais passons à la discussion, bien plus intéressante, que le géomètre arabe fait des cas particuliers.

1. *) On voit aisément que la longueur de cette droite est constante pour tous les segments de spère égaux en surface.
2. **) En effet, en éliminant alternativement x et y entre les équations des deux sections coniques, après y avoir substitué à HN, BK, S leurs valeurs en a' et b', on aura
   5) $y^{2}-{\tfrac {3}{2}}b'y+3a'b'=0$, 6) $x^{2}-{\tfrac {b'}{3a'}}x^{2}+{\tfrac {b'^{2}}{2a'}}=0$.
   Ces équations, comparées aux équations 3) et 4), montrent immédiatement que y répond à Δ et x à 2r.