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Proposition résolue par un des anciens au moyen de la règle et de la géométrie mobile, mais que nous devons résoudre au moyen Je la géométrie fixe.

Étant donnés un cercle et l’angle au centre A.CD (fig. 47), mener de D une transversale DBZ coupant le prolongement du diamètre ACB au point Z, de sorte que $HZ=AC$. On aura angle $DZA={\tfrac {1}{3}}DCA$ (*^[1]).

Proposition résolue par nous.

Ayant mené dans un demi-cercle une corde BC (fig. 48) renfermant avec le diamètre BA l’angle qu’il s’agit de diviser, mener un rayon DE tel qu’en faisant EZ parallèle à BC on ait $BZ.ZD={\overline {\text{ZE}}}^{2}$. On aura angle $ABE={\tfrac {1}{3}}AB$C (**^[2]).

Proposition que j'ai découverte, et au moyen de laquelle j'ai démontré les autres propositions mentionnées.

Étant donné l’angle KCD (fig. 49), prenons sur les côtés de l’angle supplémentaire des segments égaux CD, CA, et menons de D une droite DE, de sorte qu’on ait

1) $DE.EC+{\overline {\text{EC}}}^{2}={\overline {\text{CD}}}^{2}$.

Décrivant un cercle du centre C et du rayon CA, on aura ${\overline {\text{CD}}}^{2}={\overline {\text{AC}}}^{2}={\overline {\text{EC}}}^{2}+AE.EK={\overline {\text{EC}}}^{2}+DE.EM$ ; mais on avait fait ${\overline {\text{CD}}}^{2}={\overline {\text{EC}}}^{2}+DE.EC$, donc $EC=EM$ ; d’où il suit immédiatement que les angles M ou D sont chacun un tiers de l’angle donné KCD.

1. *) Le procédé de la « géométrie mobile » consiste à faire pivoter autour du point D une règle divisée en parties aliquotes du rayon, jusqu'à ce que le nombre des parties interceptées entre la circonférence du cercle et le prolongement de AB soit égal au nombre de ces parties qui correspond à la longueur du rayon. Comparer Archimède, Lemmes, prop. 8, éd. d'Oxf. p. 358. — Cette proposition est essentiellement la même que la troisième d'Albiroûni.
2. **) C’est exactement la même chose que la proposition d'Alqoûhi.