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Voici maintenant le procédé employé par l’auteur pour obtenir la relation 1). Il dit :

« Construisons une hyperbole (fig. 50) ayant son sommet au point C, équilatère, dont le grand axe soit égal à CA et l’angle des ordonnées égal à l’angle C, conformément à la….. proposition du premier livre des Coniques d’Apollonius (*^[1]). Ce sera la courbe BC. Faisons BC = CD (**^[2]) et DE parallèle à BC. Je dis qu’on aura $DE.EC+{\overline {EC}}^{2}={\overline {CD}}^{2}$. »

« Démonstration. Menons l’ordonnée BZ, on aura $AZ.ZC={\overline {ZB}}^{2}$. Mais $AZ.ZC=AC.CZ+{\overline {CZ}}^{2}={\overline {BZ}}^{2}$. Or les triangles BCZ et DEC étant semblables, leurs côtés seront proportionnels, de sorte que $DE.EC+{\overline {EC}}^{2}$ est à ${\overline {DC}}^{2}$ comme $BC.CZ+{\overline {CZ}}^{2}$ à ${\overline {BZ}}^{2}$. Mais alors $DE.EC+{\overline {EC}}^{2}$ sera égal à \overline{CD}^2, ce qu’il s’agissait de démontrer. »

Voici maintenant comment l’auteur ramène effectivement à cette proposition toutes les précédentes :

1. Troisième proposition d’Ahoûl Rîhân.

Après avoir fait EM = EC (fig. 51), menons de M au prolongement du diamètre une droite MZ égale au rayon, et menons ZD, TC. On aura triangle DCM égal et semblable à triangle CMZ ; donc MC parallèle à ZD, et angle MZD = angle CDZ = angle CTD, conséquemment aussi MZ parallèle à CT, donc $ZT=MC=CT$, de sorte que dans le triangle rectangle ZCL on aura ZT = TC = TL ; mais c’est à cela que se ramenait cette proposition d’Albîroûnî (voir la note à cette proposition).

2. Proposition de Thâbit.

Après avoir fait EM = EC (fig. 51), menons de D une droite

1. *) La proposition dont il s’agit, et dont le nombre est laissé en blanc dans le manuscrit, est la cinquante-troisième, édition d’Oxf., page 91.
2. **) Cela revient à combiner avec l’hyperbole un cercle décrit du centre C et du rayon CD.