Page:L’Algèbre d’Omar Alkhayyami.djvu/25

- xiv -

forçant d’ôter à ceux-ci ce qu’ils avaient quelqueloia de traînant et d’entortillé.

Alkhayyâmi commence toujours par rendre homogène l’équation proposée. On remarquera que c’est pour ce but qu’il a mis en tête de la partie de son mémoire qui contient la construction des équations cubiques, deux théorèmes auxiliaires. En général, on aura souvent occasion d’admirer l’esprit d’ordre, le génie systématique, qui distinguent notre auteur. Outre ces deux lemmes, c’est encore la construction de l’équation $x^{3}=a$ qui sert pour ces transformations relatives à l’homogénéité, lorsqu’il s’agit de substituer un cube au terme connu de l’équation.

Ensuite Alkhayyâmi détermine, au moyen des coefficients transformés de l’équation, deux coniques, et arrive, par l’intersection de celles-ci, à une égalité de deux solides. Soit en décomposant ceux-ci, soit en ajoutant ou en retranchant de part, et d’autre des solides communs, il obtient enfin l’équation proposée.

Ramenons maintenant à son expression générale la méthode suivie par Alkhayyâmi pour déterminer les deux coniques au moyen des constantes de l’équation proposée. En formant les équations analytiques des coniques qu’il, emploie, puis en comparant entre elles ces équations, et en désignant par $\varkappa ,\ \lambda ,\ \mu ,\ \nu ,\ \xi ,\ \varphi ,$ des quantités qui ne peuvent prendre que les valeurs $\mathrm {+1}$ ou $\mathrm {-1}$ (ce qui permettra de poser $x.\lambda =\textstyle {\tfrac {x}{\lambda }},x^{2}=1,$ etc.), on trouve que le procédé du géomètre arabe se réduit aux trois systèmes suivants :

i. $y^{2}+\varkappa x^{2}+\lambda \textstyle {\tfrac {a}{b}}x=0$

$\varkappa =0$ parabole
$\varkappa =+1$ cercle
$\varkappa =-1$ hyperbole

$x^{2}-\textstyle {\sqrt {b}}.y=0$ parabole

_______________________________________

$x^{2}+xbx^{2}+\lambda ax=0$ ou $x^{2}+xbx+\lambda a=0$.

ii yx - $\textstyle {\sqrt[{}]{a.m}}$ = 0 hyperbole

$y2+xmx+\lambda mc=0$ parabole

___________________________

$xx^{2}+\lambda cx^{2}+a=0$ ou $x^{2}+x\lambda cx^{2}+xa=a$.

iii, $y^{2}+xx^{2}+\lambda |\textstyle {\tfrac {a}{b}}+\mu c|x+\textstyle {\tfrac {ac}{b}}=0$

$x=+1$ ... cercle
$x=-1$ ... hyperbole

$yx+\xi \textstyle {\sqrt[{}]{b}}.x+\nu \textstyle {\tfrac {a}{\textstyle {\sqrt[{}]{b}}}}=0$ hyperbole _____________________________________

$\mu x^{2}+\lambda |\textstyle {\tfrac {a}{b}}+\mu c|x^{2}+|b+\nu \textstyle {\tfrac {ac}{b}}|x^{2}+2\xi \phi ax+\textstyle {\tfrac {a^{2}}{b}}=0$,

ou $x^{2}+x\lambda |\textstyle {\tfrac {a}{b}}\mu c|x^{2}+x|b+\nu \textstyle {\tfrac {ac}{b}}|=0$

Le système I sert à la construction des équations 3, 13, 14, 15, lorsqu’on pose

3. $x=0...\lambda =-1...b=1$ 14. $x=-1...\lambda =+1$

13. $x=+1...\lambda =-1$ 15. $x=-1...\lambda =-1$