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blème de couper une sphère par un plan, de manière que le rapport de l’un des deux segments à l’autre soit égal à un rapport donné (*^[1]). Il démontre que ce problème dépend de la construction suivante : Étant donnés une ligne DZ et sur cette ligne deux points B, T, de telle sorte que B soit situé entre D et T, déterminer un point X de la ligne DZ, tel qu’on ait $XZ:ZT={\overline {\text{BD}}}^{2}:{\overline {\text{DX}}}^{2}$ . Ramenons ce problème à son expression algébrique en désignant BD, ZT, ZD, DX, par a, b, c, x, respectivement ; il s’agira de déterminer x au moyen de la proportion $(c-x):b=a^{2}:x^{2}$ , c’est-à-dire de construire l’équation cubique $x^{3}+a^{2}*b=cx^{2}$ .

Il paraît que ce lemme fixa d’une manière toute particulière l’attention des géomètres arabes. Comme Archimède n’en avait pas donné la solution, c’est peut-être qu’ils mettaient un certain point d’honneur à prouver qu’ils savaient surmonter aisément un obstacle qui semblait avoir arrêté Archimède (**^[2]). J’ai réuni, dans les additions A et B, différentes solutions de ce lemme, données par des géomètres arabes (***^[3]).

Quant à la manière dont Alkhayyâmî construit les équations cubiques, je vais donner une indication rapide des traits généraux de sa méthode, sans entrer dans les détails dont on se rendra facilement compte en parcourant les notes qui accompagnent ma traduction. Dans ces notes j’ai fidèlement reproduit les procédés du géomètre arabe, tout en m’ef-

↑ *) Édition d’Oxford, p. 157 sqq.
↑ **) Il est vrai que, d’après Entocius, Archimède lui-même aurait donné une solution de ce problème qui revient à construire le lemme par la combinaison de la parabole $x^{2}=ya^{2}/c$ , avec l’hyperbole équilatère $y(c-x)=b*c$ . Il ne faut pas croire, cependant, que le commentaire d’Eutocius sur le Traité de la sphère et du cylindre n’ait pas été connu de bonne heure aux Arabes. On peut comparer à ce sujet un passage que j’ai extrait d’un manuscrit de la Bibliothèque nationale, pag. 103 ult. On trouve même dans un autre manuscrit de la Bibliothèque nationale (n° 952, 2, Supplément arabe), écrit à Chirâz l’an 358 de l’hégire (comp. page 117, première note), un fragment intitulé de la manière suivante : « Traité d’Eutocius (), rendant compte des solutions, données par les anciens, du problème de la détermination de deux lignes entre deux autres lignes, de telle sorte que ces quatre lignes soient en proportion continue. Traduit par Aboûl Haçan Thâbit Ben Korrah. Cet ouvrage contient dix-huit figures et (les solutions de) onze géomètres, à savoir : Héron (), Philon le Byzantin (). Apollonius (), Dioclès (), Pappus (), Sporus (), Ménechme (), Ératosthène (), Platon (), Architas (), Nicomède (). » c’est une traduction du commentaire de la 3^e proposition du Traité de la sphère et du cylindre.
↑ ***) Les géomètres arabes désignent généralement ce problème comme celui posé dans la quatrième proposition du Traité de la sphère et du cylindre. C’est que le terme arabe, traduit par « proposition, » signifie à la lettre « figure, » et que, à compter d’après les figures, celle de la 5^e proposition n’est en effet que la 4^e du second livre, puisque la 1^re proposition de ce livre est sans figure.

[1] *) Édition d’Oxford, p. 157 sqq.

[2] **) Il est vrai que, d’après Entocius, Archimède lui-même aurait donné une solution de ce problème qui revient à construire le lemme par la combinaison de la parabole $x^{2}=ya^{2}/c$ , avec l’hyperbole équilatère $y(c-x)=b*c$ . Il ne faut pas croire, cependant, que le commentaire d’Eutocius sur le Traité de la sphère et du cylindre n’ait pas été connu de bonne heure aux Arabes. On peut comparer à ce sujet un passage que j’ai extrait d’un manuscrit de la Bibliothèque nationale, pag. 103 ult. On trouve même dans un autre manuscrit de la Bibliothèque nationale (n° 952, 2, Supplément arabe), écrit à Chirâz l’an 358 de l’hégire (comp. page 117, première note), un fragment intitulé de la manière suivante : « Traité d’Eutocius (), rendant compte des solutions, données par les anciens, du problème de la détermination de deux lignes entre deux autres lignes, de telle sorte que ces quatre lignes soient en proportion continue. Traduit par Aboûl Haçan Thâbit Ben Korrah. Cet ouvrage contient dix-huit figures et (les solutions de) onze géomètres, à savoir : Héron (), Philon le Byzantin (). Apollonius (), Dioclès (), Pappus (), Sporus (), Ménechme (), Ératosthène (), Platon (), Architas (), Nicomède (). » c’est une traduction du commentaire de la 3^e proposition du Traité de la sphère et du cylindre.

[3] ***) Les géomètres arabes désignent généralement ce problème comme celui posé dans la quatrième proposition du Traité de la sphère et du cylindre. C’est que le terme arabe, traduit par « proposition, » signifie à la lettre « figure, » et que, à compter d’après les figures, celle de la 5^e proposition n’est en effet que la 4^e du second livre, puisque la 1^re proposition de ce livre est sans figure.

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