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tives. Pour ces dernières équations, lorsqu’elles n’admettent pas des racines positives, il les déclare « impossibles, » et il établit parfaitement le critérium géométrique de la réalité des deux racines conjuguées, à savoir la rencontre en deux points, ou le contact des deux coniques qui construisent l’équation. Au cas du contact, il n’admet naturellement qu’une seule racine, et ne distingue pas deux racines égales.

Pour compléter sa théorie, Alkhayyâmi aurait dû établir encore des relations entre les coefficients de l’équation proposée, correspondant à cette limite qui est géométriquement représentée par le contact des deux coniques.

C’est ce qu’il ne fait réellement pas. Mais, approchant de ce but, il distingue quelquefois certains cas, et énonce en même temps que dans l’un ou dans l’autre de ces cas le problème est, ou n’est pas, ou possible, ou impossible. En ramenant les relations, établies de cette manière, à leur expression algébrique, on trouve par exemple qu’il montre pour l’équation 17 : que tant que $\textstyle {\sqrt[{3}]{a}}\leqslant {\tfrac {c}{2}},$ il existe nécessairement deux racines positives ; que lorsque $\textstyle c>{\sqrt[{3}]{a}}>{\tfrac {c}{2}},$ elles peuvent exister ou non ; et que lorsque $\textstyle {\sqrt[{3}]{a}}\geqslant c,$ elles ne peuvent pas exister du tout. Pour l’équation 21 : que lorsque $\textstyle a^{\tfrac {3}{2}}\ +\ b^{2}\textstyle {\sqrt {c}}<{\sqrt {a}}.bc,$ deux racines positives existent nécessairement, tandis que lorsque $\textstyle a^{\tfrac {3}{2}}+b^{2}{\sqrt {c}}>{\sqrt {a}}.bc,$ elles peuvent exister ou non. Pour l’équation 24 : que lorsque ${\tfrac {a}{b}}\geqslant c,$ elles n’existent pas (*^[1]). Pour l’équation 25 : que lorsque ${\tfrac {a}{b}}>c,$ elles peuvent exister ou non ; mais que lorsque ${\tfrac {a}{b}}\leqslant c,$ elles existent nécessairement (**^[2]).

D’autres géomètres arabes réussirent mieux dans la détermination de cette limite, qui fut tentée seulement par Alkhayyâmi. C’est sous ce rapport qu’on ne remarquera peut-être pas sans intérêt les morceaux dont j’ai rendu compte dans les additions B et C. J’y ai montré comment un théorème démontré par Eutocius contenait le germe de ces découvertes, et comment, en partant de la simple considération que l’expression

1. *) Parce qu’alors la construction donne seulement la troisième racine positive ; mais malheureusement aussi dans le cas $\textstyle {\tfrac {a}{b}}<c,$ l’auteur (comme je l’ai fait observer ci-dessus) ne découvre que cette troisième racine.
2. **) En conséquence de l’autre erreur mentionnée ci-dessus, l’auteur ne trouve ici, en vérité, qu’une seule de ces deux racines positives.

b