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$(a-x)x^{2}$ devient un maximum pour $x={\frac {2}{3}}a$, les géomètres arabes sont parvenus à exprimer, avec justesse et élégance, les limites de la solubilité dans des problèmes du troisième degré. On trouvera notamment, dans l’addition B, l’énoncé parfait de la relation $4c^{3}=27a$, qui correspond à cette limite pour l’équation $x^{3}-cx^{2}+a=0$.

Quant aux équations du quatrièmè degré, Alkhayyâmi déclare qu’il est impossible de les construire au moyen des méthodes qu’il a développées (v. p. 79). Cependant on reconnaîtra, en parcourant l’addition D, que les Arabes ont non-seulement construit des problèmes du quatrième degré (1^er problème de cette addition), mais encore qu’ils ont ramené des problèmes de ce degré à leur expression algébrique (2^e problème de la même addition) ; de sorte qu’on peut dire, en toute rigueur, qu’ils ont construit des équations du quatrième degré au moyen de l’intersection de deux coniques.

Enfin, on trouve qu’un célèbre géomètre arabe (voir p. 73) a construit l’équation binôme du cinquième degré. On peut croire qu’il y employa, soit une des courbes supérieures dont les Arabes ont pu puiser la connaissance dans les ouvrages des géomètres grecs, soit un de ces procédés mécaniques dont ces ouvrages offrent également des exemples.

Dans la dernière partie de son traité, Alkhayyâmi propose même encore l’équation binôme du sixième degré (dont la résolution, en effet, est très- facile). En général, cette partie de son algèbre doit intéresser surtout au point de vue historique, et comme montrant ce& esprit de système dont le travail tout entier d’Alkbayyâmi porte le cachet.

Je veux parler de la discussion des équations à termes fractionnaires, dont les dénominateurs sont des puissances de l’inconnue. L’auteur ramène ces équations à ses vingt-cinq équations primitives : les unes, en substituant à l’inconnue une nouvelle inconnue qui es& la. valeur réciproque de la première ; les autres en multipliant l’équation proposée par une puissance de l’inconnue.

Pour compléter un ensemble de données concernant les travaux des Arabea sur les problèmes qui dépendent de l’intersection de deux coniques, j’ai ajouté (*^[1]), aux morceaux dont je viens de rendre compte, l’extrait d’un traité arabe de la trisection de l’angle. On sait que les deux problèmes de la duplication du cube et de la trisection de l’angle sont étroitement liés l’un à l’autre, et que, depuis Platon jusqu’à Viète, ils n’ont pas cessé d’exercer le génie des géomètres. J’ai essayé de montrer, dans les morceaux précédents, les développements importants qu’avait reçus, chez les Arabes, le premier de ces deux problèmes. J’espère

1. *) Voir addition E.