Page:L’Algèbre d’Omar Alkhayyami.djvu/49

Cette page a été validée par deux contributeurs.

- 18 -

tés ensemble, produisent un nombre carré. Sinon, le problème, considéré comme arithmétique, est impossible(*^[1]). Géométriquement, cette espèce ne comprend pas de problèmes impossibles du tout.

La démonstration arithmétique est facile, et conforme à la démonstration géométrique. Voici cette dernière (**^[2]). Nous supposons le carré AC (fig. 4) ensemble avec dix de ses racines égal à trente-neuf en nombre. Supposons encore que dix de ses racines soient représentées par le rectangle CE. La ligne 12DE sera donc égale à dix. Divisons-la, au point Z, en deux parties égales. Alors, parce que la ligne DE a été divisée en deux parties égales au point Z, et qu’on lui a ajouté en ligne droite la partie AD, le produit de EA en AD, qui est égal au rectangle EB, ajouté au carré de DZ, sera égal au carré de ZA. Mais le carré de DZ, qui est la moitié (du nombre) des racines, est connu, et le rectangle BE, qui est le nombre donné, est également connu. Par conséquent, le carré de ZA et la ligne ZA seront connus ; et lorsque nous retranchons ZD de ZA, le reste AD sera connu.

↑ *) Ici l’auteur se trompe ; aucune des deux conditions n’est nécessaire pour que $x$ soit entier. Désignons par $\sigma$ un nombre positif et irrationnel, par $\alpha$ un nombre positif et entier ; supposons $\sigma >\alpha$ et $a=\sigma .\alpha ,\ b=\sigma -\alpha .$ Certainement $\sigma -\alpha$ ne sera pas alors un nombre pair, ni $\sigma .\alpha +\left(\textstyle {\frac {\sigma -\alpha }{2}}\right)^{2}=\left(\textstyle {\frac {\sigma +\alpha }{2}}\right)^{2}$ un nombre carré, vu que sa racine $(\textstyle {\tfrac {\sigma +\alpha }{2}})$ est irrationnelle ; toutefois $x={\sqrt {\sigma .\alpha +\left({\frac {\sigma -\alpha }{2}}\right)^{2}}}-{\frac {\sigma -\alpha }{2}}=\alpha$ sera un nombre entier.
↑ **) AD = AB = x, DE = 10, BE= 39, DZ = ZE = $(\textstyle {\tfrac {DE}{2}})$ ;
${\text{EA . AD}}+{\overline {\text{DZ}}}^{2}={\overline {\text{ZA}}}^{2}$ (Euclide, Éléments, ii, 6) ou BE + DZ = ZA ;
BE et DZ étant connus, il en sera de même pour ZA et pour (ZA — ZD) = AD = x. Voici le principe de cette démonstration : la proposition d’Euclide exprime que $(b+x)x+\textstyle {\tfrac {b}{2}}^{2}=\left(\textstyle {\tfrac {b}{2}}+x\right)^{2}\ ;$ mais on avait $(b+x)x=x^{2}+bx=a,$ donc $a+\left(\textstyle {\tfrac {b}{2}}\right)^{2}=\left(\textstyle {\tfrac {b}{2}}+x\right)^{2}$ ou $\textstyle {\sqrt {a+\left({\tfrac {b}{2}}\right)^{2}}}-\textstyle {\tfrac {b}{2}}=x$ .

[1] *) Ici l’auteur se trompe ; aucune des deux conditions n’est nécessaire pour que $x$ soit entier. Désignons par $\sigma$ un nombre positif et irrationnel, par $\alpha$ un nombre positif et entier ; supposons $\sigma >\alpha$ et $a=\sigma .\alpha ,\ b=\sigma -\alpha .$ Certainement $\sigma -\alpha$ ne sera pas alors un nombre pair, ni $\sigma .\alpha +\left(\textstyle {\frac {\sigma -\alpha }{2}}\right)^{2}=\left(\textstyle {\frac {\sigma +\alpha }{2}}\right)^{2}$ un nombre carré, vu que sa racine $(\textstyle {\tfrac {\sigma +\alpha }{2}})$ est irrationnelle ; toutefois $x={\sqrt {\sigma .\alpha +\left({\frac {\sigma -\alpha }{2}}\right)^{2}}}-{\frac {\sigma -\alpha }{2}}=\alpha$ sera un nombre entier.

[2] **) AD = AB = x, DE = 10, BE= 39, DZ = ZE = $(\textstyle {\tfrac {DE}{2}})$ ;
${\text{EA . AD}}+{\overline {\text{DZ}}}^{2}={\overline {\text{ZA}}}^{2}$ (Euclide, Éléments, ii, 6) ou BE + DZ = ZA ;
BE et DZ étant connus, il en sera de même pour ZA et pour (ZA — ZD) = AD = x. Voici le principe de cette démonstration : la proposition d’Euclide exprime que $(b+x)x+\textstyle {\tfrac {b}{2}}^{2}=\left(\textstyle {\tfrac {b}{2}}+x\right)^{2}\ ;$ mais on avait $(b+x)x=x^{2}+bx=a,$ donc $a+\left(\textstyle {\tfrac {b}{2}}\right)^{2}=\left(\textstyle {\tfrac {b}{2}}+x\right)^{2}$ ou $\textstyle {\sqrt {a+\left({\tfrac {b}{2}}\right)^{2}}}-\textstyle {\tfrac {b}{2}}=x$ .

[1]

[2]