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Autre démonstration(*^[1]). Supposons que ABCD (fig. 5) soit un carré ; prolongeons BA jusqu’à E, et faisons EA égale à un quart (du nombre) des racines, c’est-à-dire à deux et demi. Prolongeons DA jusqu’à Z, en faisant ZA égale à un quart (du nombre) des racines. Menons d’une manière semblable des lignes de tous les sommets du carré, et complétons la figure HT. Elle sera un carré, parce que ZE, AC et CT sont des carrés, vu ce qui se trouve exposé dans le sixième livre des Éléments (**^[2]). Les quatre carrés situés dans les coins du grand carré sont égaux chacun au carré de deux et demi ; conséquemment leur somme sera égale à vingt-cinq, c’est-

1. *) AB = BC = x, EA = ZA = $\textstyle {\tfrac {10}{4}}$ = 2 $\textstyle {\tfrac {1}{2}}$, EZ = $\textstyle {\tfrac {25}{4}}$, 4 EZ = 25 ;
   ZB = ZA . AB = 2 $\textstyle {\tfrac {1}{2}}$, AB 4 ZB = 10 AB ; AB + 10 AB = 39, AB + 4 ZB = 39 ;
   HT = AB + 4 ZB + 4 EZ = 39 + 25 = 64 ;
   x = AB = EM - (EA + BM) = côté de HT — 2 EA =$\textstyle {\sqrt[{}]{64}}$ - $\textstyle {\tfrac {10}{2}}$ = 3.
   Le principe de cette démonstration consiste à compléter le carré ; en effet, nous avons
   $HT=x^{2}+4({\tfrac {b}{4}}x)+4({\tfrac {b}{4}})^{2}=(x+{\tfrac {b}{2}})^{2}$, et en même temps, parceque $x^{2}+bx=a$,
   $HT=x^{2}+4({\tfrac {b}{4}}x)+4({\tfrac {b}{4}})^{2}=a+({\tfrac {b}{2}})^{2}$, donc $a+({\tfrac {b}{2}})^{2}=(x+{\tfrac {b}{2}})^{2}$ ou ${\sqrt[{}]{a+({\tfrac {b}{2}})^{2}}}-{\tfrac {b}{2}}=x$.
   Cette démonstration est essentiellement la même que celle donnée par Mohammed Ben Moûçâ ; voyez l’édition de Rosen, pages 13 et A. Mohammed Ben Moûçà en ajoute une seconde, dont voici l’exposé (voir fig. 5, a) :
   Équation proposée, x² + 10 x = 39.
   Démonstr. : AB = x² ; G = D = ($\textstyle {\tfrac {10}{2}}$ x ;
   AB + (G + D) = x² + 2 ($\textstyle {\tfrac {10}{2}}$)² = 39 . — ... a
   SH - | AB + (G + D) = x2 + 2 SH - 39 = ($\textstyle {\tfrac {10}{2}}$)2 . — ... ($\textstyle {\tfrac {b}{2}}$)²
   SH = 39 + 5$\textstyle {\tfrac {10}{2}}$2 = 64 ; … a + $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$
   côté de SH = $\textstyle {\sqrt[{}]{64}}$ - = 8 ; … $\textstyle {\sqrt[{}]{a+(b/2)2}}$
   x = côté de AB = 8 — $\textstyle {\tfrac {10}{2}}$ 3 . - ... $\textstyle {\sqrt[{}]{a+(b/2)2}}$ - $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$
2. **) Euclide, Éléments, VI, 24.

2.