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BT, qui est égal au cube plus le nombre donné de carrés, sera égal au nombre donné de racines. Construisons un rectangle K égal au nombre donné des racines ; la racine, c’est le côté du cube, c’est-à-dire AD. Donc le rectangle K, multiplié par AD, sera égal au nombre donné de côtés. D’un autre côté, le rectangle HB, multiplié par AD, produit le cube plus le nombre donné de carrés. Mais ces deux solides sont égaux ; c’est-à-dire le solide BT et le solide construit sur K et ayant pour hauteur AD. Conséquemment, leurs bases seront réciproquement proportionnelles à leurs hauteurs. Or, leurs 16hauteurs étant égales, leurs bases nécessairement le seront aussi. Mais la base HB est égale au carré CB plus le rectangle HA qui est égal à ce nombre de racines (de CB) qui avait été donné pour les carrée. Donc K, qui est le nombre donné pour les racines, est égal an carré plus le nombre de racines donné pour les carrés. Mais c’est ce que nous nous proposions de démontrer.

Voici un exemple de cette espèce. Un cube et trois carrés sont égaux à dix racines ; cela équivaut à : un carré et trois racines sont égaux à dix en nombre.

Seconde espèce. « Un cube et deux racines sont égaux à trois carrés (*^[1]). » Cela équivaut à : un carré plus deux est égal à trois racines.

Démonstration. Supposons un cube ABCDE (fig. 12), lequel, ajouté à deux de ses racines, soit égal à trois carrés. Supposons de plus un carré H égal à CB, et une droite K égale à trois. Le produit de H en K sera alors égal à trois carrés du cube AE. Construisons sur AC un rectangle égal à deux, et complétons

1. *) xi, $x^{2}+bx=cx^{2}(x^{2}+2x=3x^{2})$.
   Démonstr. : cube $ABCDE=x^{2},H=CB.$ ${\overline {\text{AC}}}^{2}$ $=ZB.x^{2};BT=AE+AT=x^{2}+2x=3x^{2};doncZB=3$ ;
   $BL=BC+AL=x^{2}+2;BL=ZB.AB=3x;doncx^{2}+2=3x$.