le solide AZCTD ; il sera égal au nombre de racines. Mais lorsqu’on multiplie la ligne ZB par le carré de AC, il résulte le solide BT, et le solide AT est égal au nombre de côtés ; conséquemment, le solide BT sera égal au cube plus une quantité égale au nombre de ses côtés. Le solide BT sera donc égal au nombre de carrés. Il en suit, d’une manière analogue à ce qui a été expliqué dans le théorème précédent (*[1]), que la ligne ZB est égale à trois. En même temps le rectangle BL est égal à un carré et deux. Conséquemment, un carré et deux sera égal à trois racines, parce que le rectangle BL est formé par le produit de AB en trois. Mais c’est ce qu’il s’agissait de démontrer.
Troisième espèce. « Un cube est égal à un carré et trois racines (**[2]). » Cela équivaut à : un carré est égal à une racine et trois en nombre.
Supposons un cube ABCDE (fig. 13) égal à son carré, plus trois de ses côtés. Retranchons de la ligne AB, qui est le côté du cube, la ligne AZ égale au nombre des carrés, lequel est17un, et complétons le solide AZTHC. Alors ce solide AZTHC sera égal au nombre donné de carrés. Il reste donc le solide ZE égal au nombre donné de côtés ; et l’un des deux solides sera à l’autre comme la base ZC à la base ZL, ainsi que c’est démontré dans le onzième livre des Éléments (***[3]), puisque leurs hauteurs sont égales. Mais le rectangle ZC est égal à
- ↑ *) c’est-à-dire, les deux solides ZB. 2 et étant égaux, leurs bases doivent être réciproquement proportionnelles à leurs hauteurs ; or, leurs bases étant égales (), leurs hauteurs seront égales, ZB = 3. Dans le théorème précédent les hauteurs étaient égales, et on en déduisait l’égalité des bases.
- ↑ ***) xii, ).
Démonstr. : cube ;
ou ;
. - ↑ ***) Euclide, Éléments, XI, 32.
