Page:L’Algèbre d’Omar Alkhayyami.djvu/60

- 29 -

de manière que ces quatre lignes soient en proportion continue (*^[1]).

Que les deux droites (données) soient AB, BC (fig. 14), et 18plaçons-les de manière qu’elles renferment l’angle droit B. Construisons une parabole dont le sommet soit situé au point B, dont l’axe soit BC, et dont le paramètre soit BC. Que ce soit la conique BDE. Elle sera connue de position, parce que son sommet et son axe sont connus de position, et que son paramètre est connu de grandeur. Elle touchera la ligne BA, parce que l’angle B est un angle droit, et conséquemment égal à l’angle de l’ordination, ainsi que cela est démontré dans la trente-troisième proposition du premier livre des Coniques (**^[2]). D’une manière semblable nous construisons une autre parabole ayant pour sommet le point B, pour axe AB, et pour paramètre AB, laquelle sera la conique BDZ, ainsi que cela est démontré par Apollonius dans la cinquante-sixième proposition du premier livre (***^[3]). La conique BDZ touchera la ligne BC. Les deux paraboles s’entrecoupent donc nécessairement. Que D soit leur point d’intersection. Alors le point D sera connu de position, parce que les deux coniques sont connues de position. Abaissons du point D deux perpendiculaires DH, DT, sur AB, BC. Elles seront connues de grandeur, ainsi que cela est démontré dans les Données (****^[4]). Et je dis qu’alors les

1. *) $AB:x=x:y=y:BC$.
   Construction : B sommet, BC axe, BC paramètre de la parabole BDE ;
   B sommet, BA axe, AB paramètre de la parabole BDZ ;
   Parab. $BDE$ ••• ${\overline {\text{HD}}}^{2}$ $=BH.BC$, $HD=BT$, donc $BC:BT=BT:HB$
   Parab. $BDZ$ ••• ${\overline {\text{DT}}}^{2}$ $=BA.BT,DT=HB$, donc $BT:HB=HB:BA$
   ______________________________________________
   conséquemment $AB:BH=BH:BT=BT:BC$
   x = BH, y = BT
   C’est la seconde des deux constructions de ce problème attribuées à Ménechme. Voir Archimède, éd. d’Oxford, pg. 142.
2. **) voir l’édition d’oxford, 1710, fol., p. 57. La proposition à laquelle l’auteur fait allusion y est la trente-deuxième.
3. ***) Édit. d’oxford, livre I, prop. 52.
4. ****) Voir propp. 30, 25, 26.