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quatre lignes AB, BH, BT, BC, sont en proportion continue.

Démonstration. Le carré de HD est égal au produit de BH en BC, parce que la ligne DH est ordonnée de la parabole BDE ; conséquemment BC est à HD, laquelle est égale à BT, comme BT à HB. La ligne DT est ordonnée de la parabole BDZ. Le carré de DT, laquelle est égale à BH, sera donc égal au produit de BA en BT. Conséquemment BT sera à BH comme BH à BA. Les quatre lignes sont donc en proportion continue ; et la ligne DR est connue de grandeur, vu qu’elle est menée d’un point connu de position à une ligne connue de position, sous un angle connu de grandeur ; et semblablement DT sera connue de grandeur. Il suit donc que les deux lignes BU, BT, sont connues de grandeur, et qu’elles sont en même temps moyennes proportionnelles entre les deux lignes AB, BC, c’est-à-dire que AB est à BH comme BH à BT, et comme BT à BC. Mais c’est ce qu’il s’agissait de démontrer.

19Étant donnés le carré ABCD (fig. 15, 1), base du parallélépipède rectangle ABCDE, et le carré MH, construire sur MH comme base un paralléüpipède rectangle égal au solide donné ABCDE (*^[1]).

Faisons AB à MZ comme MZ à K, et puis AB à K comme ZT à ED. Plaçons ZT de manière qu’elle soit perpendiculaire au plan MH au point Z, et complétons le solide MZTH. Je-dis que ce solide est égal au solide donné.

Démonstration. Le carré AC est au carré MH comme AB à K. Le carré AC sera donc au carré MH comme ZT, la hau-

1. *) On détermine K et ZT au moyen des deux proportions
   1) $AB:MZ=MZ:K$
   2) $AB:K=ZT:ED$
   __________________________________
   Il suit ${\overline {\text{AB}}}^{2}$ : ${\overline {\text{MZ}}}^{2}=ZT:ED$, donc ${\overline {\text{AB}}}^{2}.ED={\overline {\text{MZ}}}^{2}.ZT$
   ou solide BE = solide MTH.