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l’hyperbole qui passe par le point A coupera le cercle au point K, comme nous l’avons démontré. Abaissons du point K deux perpendiculaires KE, KM, ainsi que nous l’avons fait dans la figure précédente. EB sera le côté du cube cherché, et la démonstration est comme auparavant. Nous retranchons le rectangle commun ED ; les côtés des deux rectangles EM, EZ, ainsi que les carrés de ces côtés, seront réciproquement proportionnels, et la démonstration sera absolument analogue à la précédente, sans rien y changer.

On vient de démontrer que cette espèce présente des formes et des cas différents, et qu’une de ses formes rentre dans la 34catégorie de la troisième espèce. L’espèce actuelle ne donne pas lieu à des problèmes impossibles (*^[1]), et a été résolue au moyen des propriétés du cercle et d’une hyperbole.

Troisième espèce des trois équations quadrinômes qui restaient. « Un cube et des nombres sont égaux à des côtés et des carrés (**^[2]). »

Faisons BC (fig. 29) égale au nombre des carrés, et BD perpendiculaire à BC, et égale au côté d’un carré égal au nombre

↑ *) L’équation $x^{3}-cx^{2}+bx-a=0$ a toujours une racine réelle et positive. Dans les cas 2) et 3), lorsque ${\tfrac {a}{b}}{\tfrac {=}{>}}c$ , les deux autres racines sont imaginaires ; mais dans le premier cas, ${\tfrac {a}{b}}<c$ , elles peuvent être positives, en sorte que l’équation alors aura trois racines positives. Il est bien à regretter qu’une circonstance aussi importante ait pu échapper à l’auteur.
↑ **) xxv, $x^{2}+a=cx^{2}+bx$ . $BC=c$ , ${\overline {\text{BD}}}^{2}=b$ , ${\overline {\text{BD}}}^{2}+S=a$ . $S<=>BC$
1) $S<BC$ (fig. 29, 1), $AB=S$ .
BD, DZ, asymptotes de l’hyperbole équilatère BAT qui passe par le point A.
C sommet, CE axe, AC paramètre de l’hyperbole équilatère KML.
Hyperbole HAT ... $DA=DM$ , $DA-ZN+AM=DM-ZN+AM$ ou $NE=ZE$
${\overline {\text{ME}}}^{2}:{\overline {\text{EA}}}^{2}={\overline {\text{OE}}}^{2}:{\overline {\text{BE}}}^{2}={\overline {\text{DB}}}^{2}{\overline {\text{BE}}}^{2}$
Hyperbole KML … \overline{\text{ME}}^2 : \overline{\text{EA}}^2 = CE / EA
_______________________________________
\overline{\text{BD}}^2CE : EA</math>, ${\overline {\text{BE}}}^{2}.CE={\overline {\text{BD}}}^{2}.EA$
${\overline {\text{BE}}}^{2}.BC+{\overline {\text{BE}}}^{2}.CE$ ou ${\overline {\text{BE}}}^{3}={\overline {\text{BE}}}^{2}.BC+{\overline {\text{BD}}}^{2}.EA$
$<math>{\overline {\text{BE}}}^{2}.{\overline {\text{BD}}}^{2}.AB={\overline {\text{BE}}}^{2}.BC+{\overline {\text{BD}}}^{2}.BE$ ou ${\overline {\text{BE}}}^{2}+a=c.{\overline {\text{BE}}}^{2}+b.BE$ , $x=BE$ .

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[1] *) L’équation $x^{3}-cx^{2}+bx-a=0$ a toujours une racine réelle et positive. Dans les cas 2) et 3), lorsque ${\tfrac {a}{b}}{\tfrac {=}{>}}c$ , les deux autres racines sont imaginaires ; mais dans le premier cas, ${\tfrac {a}{b}}<c$ , elles peuvent être positives, en sorte que l’équation alors aura trois racines positives. Il est bien à regretter qu’une circonstance aussi importante ait pu échapper à l’auteur.

[2] **) xxv, $x^{2}+a=cx^{2}+bx$ . $BC=c$ , ${\overline {\text{BD}}}^{2}=b$ , ${\overline {\text{BD}}}^{2}+S=a$ . $S<=>BC$
1) $S<BC$ (fig. 29, 1), $AB=S$ .
BD, DZ, asymptotes de l’hyperbole équilatère BAT qui passe par le point A.
C sommet, CE axe, AC paramètre de l’hyperbole équilatère KML.
Hyperbole HAT ... $DA=DM$ , $DA-ZN+AM=DM-ZN+AM$ ou $NE=ZE$
${\overline {\text{ME}}}^{2}:{\overline {\text{EA}}}^{2}={\overline {\text{OE}}}^{2}:{\overline {\text{BE}}}^{2}={\overline {\text{DB}}}^{2}{\overline {\text{BE}}}^{2}$
Hyperbole KML … \overline{\text{ME}}^2 : \overline{\text{EA}}^2 = CE / EA
_______________________________________
\overline{\text{BD}}^2CE : EA</math>, ${\overline {\text{BE}}}^{2}.CE={\overline {\text{BD}}}^{2}.EA$
${\overline {\text{BE}}}^{2}.BC+{\overline {\text{BE}}}^{2}.CE$ ou ${\overline {\text{BE}}}^{3}={\overline {\text{BE}}}^{2}.BC+{\overline {\text{BD}}}^{2}.EA$
$<math>{\overline {\text{BE}}}^{2}.{\overline {\text{BD}}}^{2}.AB={\overline {\text{BE}}}^{2}.BC+{\overline {\text{BD}}}^{2}.BE$ ou ${\overline {\text{BE}}}^{2}+a=c.{\overline {\text{BE}}}^{2}+b.BE$ , $x=BE$ .

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