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que soit le temps $t,$ on aura aussi

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=0.$

et, par conséquent, par l’équation fondamentale,

$0={\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+{\frac {2}{a}}{\frac {dz}{dx}}-{\frac {2z}{a^{2}}}$

d’où l’on tire

${\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}=-{\frac {2}{a}}{\frac {dz}{dx}}\,;$

laquelle valeur substituée, on aura

$\left(\mathrm {M} -a{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}\right){\frac {dx}{dz}}=0,$

ou bien

$\mathrm {M} -a{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}=0.$

Or $\mathrm {M}$ étant égal à $\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)$ (6), on aura, en substituant et posant ensuite $x=a,$

$\sin \left(a{\sqrt {-k}}\right)-a{\sqrt {-k}}\cos \left(a{\sqrt {-k}}\right)=0,$

d’où l’on tire, comme dans le n^o 18,

$a{\sqrt {-k}}={\frac {\sin(a{\sqrt {-k}})}{\cos(a{\sqrt {-k}})}}=\operatorname {tang} (a{\sqrt {-k}}).$

Il y a encore une autre substitution qu’on pourrait employer au lieu de la précédente ; cette substitution consiste à faire

$z=y-x{\frac {dy}{dx}},$

ce qui réduira l’équation en $z$ à une équation en $y$ de la forme de

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=c{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}},$

et cette équation étant construite par la méthode du Problème I, on aura pour la valeur de $z$ des formules analogues à celles qu’on a trouvées à la fin du n^o 20.