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fibre rectiligne $\mathrm {PR} ,$ mouvements qui selon l’hypothèse doivent être sensiblement les mêmes pour toutes les autres fibres partant du centre $\mathrm {P} .$

Soit, pour faciliter cette recherche, $t>{\frac {\mathrm {PQ} }{\sqrt {c}}}\,;$ il est évident qu’il faudra rejeter dans la construction du n^o 20 les termes qui répondent aux abscisses $x+t{\sqrt {c}},$ ces termes ne pouvant ici produire aucune valeur réelle ; il n’y aura donc que les termes relatifs aux abscisses $x-t{\sqrt {c}}$ qui entrent dans la détermination des quantités $z$ et $u,$ d’où dépend la connaissance des mouvements en question. Ayant pris (fig. 13, p. 217) sur la ligne $\mathrm {PR}$ le point $\mathrm {P} '$ tel, que $\mathrm {PP} '=t{\sqrt {c}},$ et ayant coupé de part et d’autre les parties $\mathrm {P'Q',P'} q'$ égales à $\mathrm {PQ}$ et $\mathrm {P} q,$ je transporte en $q'\mathrm {P'Q'}$ les deux courbes qui renferment les valeurs des $\mathrm {Z}$ et $\mathrm {U} ,$ telles qu’elles ont été décrites sur le diamètre $q\mathrm {PQ} ,$ et prenant le point $\mathrm {P} '$ pour l’origine des abscisses $x,$ je trouve pour une particule quelconque $\mathrm {M}$

${\begin{aligned}z'=&{\frac {1}{2}}\left[\mathrm {Z} +{\frac {d\mathrm {Z} x}{dx}}-{\frac {1}{\sqrt {c}}}\int \left(\mathrm {U} +{\frac {d\mathrm {U} x}{dx}}\right)dx\right],\\u'=&{\frac {1}{2}}\left[\mathrm {U} +{\frac {d\mathrm {U} x}{dx}}-{\sqrt {c}}{\frac {d\left(\mathrm {Z} +{\cfrac {d\mathrm {Z} x}{dx}}\right)}{dx}}\right].\end{aligned}}$

Or, par les suppositions faites à la fin du n^o 19, on a généralement

${\begin{aligned}z'=&z+{\frac {dzx}{dx}},\\u'=&u+{\frac {dux}{dx}},\end{aligned}}$

l’origine des $x$ étant au point $\mathrm {P} .$ Mettant donc ici, pour transporter cette origine en $\mathrm {P} ',$ $x+t{\sqrt {c}}$ au lieu de $x$ et intégrant après avoir multiplié par $\left(x+t{\sqrt {c}}\right)dx,$ il viendra les deux équations suivantes :

${\begin{aligned}z\left(x+t{\sqrt {c}}\right)^{2}=&{\frac {1}{2}}\mathrm {Z} x^{2}+{\frac {1}{2}}t{\sqrt {c}}(\int \mathrm {Z} dx+\mathrm {Z} x)\\&-{\frac {1}{2{\sqrt {c}}}}\int \left(x+t{\sqrt {c}}\right)dx\int \left(\mathrm {U} +{\frac {d\mathrm {U} x}{dx}}\right)dx.\end{aligned}}$