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comme nulles dans le numéro cité, devront disparaître par elles-mêmes, en tant qu’elles se rapporteront à un point quelconque de la figure proposée. Rappelons-nous ces expressions négligées dans les calculs précédents et considérons d’abord celles qui ont le signe $-\,;$ je dis que leur somme est toujours évanouissante, quelle que soit la figure à laquelle il faille les rapporter. Pour le prouver, ajoutons-les ensemble ; on aura

$\int \left({\frac {d\mathrm {L} }{d\mathrm {X} }}+{\frac {d\mathrm {M} }{d\mathrm {Y} }}+{\frac {d\mathrm {N} }{d\mathrm {Z} }}\right)(xd\mathrm {Y} d\mathrm {Z} +yd\mathrm {X} d\mathrm {Z} +zd\mathrm {X} d\mathrm {Y} ).$

Or, soit le rapport entre les trois coordonnées $\mathrm {X,Y,Z} ,$ exprimé par l’équation

$d\mathrm {Z} =\mathrm {P} d\mathrm {X} +\mathrm {Q} d\mathrm {Y} ,$

il est aisé de prouver qu’on peut ramener tous les termes de l’expression précédente à la variabilité des seules coordonnées $\mathrm {X,Y} ,$ en substituant au lieu de $d\mathrm {Z} ,$ $\mathrm {P} d\mathrm {X}$ dans le produit $d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} ,$ et $\mathrm {Q} d\mathrm {Y}$ dans le produit $d\mathrm {X} d\mathrm {Z} \,;$ d’où l’on aura la transformée

$\int \left({\frac {d\mathrm {L} }{d\mathrm {X} }}+{\frac {d\mathrm {M} }{d\mathrm {Y} }}+{\frac {d\mathrm {N} }{d\mathrm {Z} }}\right)(x\mathrm {P} +y\mathrm {Q} +z)d\mathrm {X} d\mathrm {Y}$

qu’il faudra maintenant intégrer en faisant varier $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ l’un après l’autre. Mais $x,y,z$ dénotant les espaces parcourus par une même particule suivant les directions des trois coordonnées $\mathrm {X,Y,Z} ,$ il n’est pas difficile de voir que ${\frac {x\mathrm {P} +y\mathrm {Q} +z}{\sqrt {1+\mathrm {P^{2}+Q^{2}} }}}$ dénotera l’espace que cette même particule décrira suivant une direction perpendiculaire à la surface dont l’équation est

$d\mathrm {Z} =\mathrm {O} d\mathrm {X} +\mathrm {Q} d\mathrm {Y} \,;$

or, il est clair que dans notre cas cet espace doit être nul, puisque le mouvement est entièrement arrêté suivant la direction perpendiculaire à chaque point de la paroi immobile ; donc on aura

${\frac {x\mathrm {P} +y\mathrm {Q} +z}{\sqrt {1+\mathrm {P^{2}+Q^{2}} }}}=0.$