Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/352

et de même, en prenant $u$ négativement,

${\begin{aligned}\mathrm {M} ^{(a-u,\mathrm {Y,Z} )}=&\mathrm {M} ^{(a,\mathrm {Y,Z} )}-u{\frac {d\mathrm {M} ^{(a,\mathrm {Y,Z} )}}{d\mathrm {X} }}+{\frac {u^{2}}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {M} ^{(a,\mathrm {Y,Z} )}}{d\mathrm {X} ^{2}}},\\\mathrm {N} ^{(a-u,\mathrm {Y,Z} )}\ =&\mathrm {N} ^{(a,\mathrm {Y,Z} )}\ -u{\frac {d\mathrm {N} ^{(a,\mathrm {Y,Z} )}}{d\mathrm {X} }}\,+{\frac {u^{2}}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {N} ^{(a,\mathrm {Y,Z} )}}{d\mathrm {X} ^{2}}},\end{aligned}}$

d’où, à cause de l’hypothèse

${\frac {d\mathrm {M} ^{(a,\mathrm {Y,Z} )}}{d\mathrm {X} }}=0,\qquad {\frac {d\mathrm {N} ^{(a,\mathrm {Y,Z} )}}{d\mathrm {X} }}=0,$

on déduit

${\begin{aligned}\mathrm {M} ^{(a+u,\mathrm {Y,Z} )}=&\mathrm {M} ^{(a-u,\mathrm {Y,Z} )},\\\mathrm {N} ^{(a+u,\mathrm {Y,Z} )}=&\mathrm {N} ^{(a-u,\mathrm {Y,Z} )},\end{aligned}}$

ou bien, restituant pour $u$ sa valeur $\mathrm {X} -a,$

${\begin{aligned}&\mathrm {M^{(X,Y,Z)}=M} ^{(2a-\mathrm {X,Y,Z} )},\\&\mathrm {N^{(X,Y,Z)}\ =N} ^{(2a-\mathrm {X,Y,Z} )}.\end{aligned}}$

Soient reprises maintenant les formules (D), (E), et supposant que $\mathrm {X}$ surpasse $a$ d’une quantité infiniment petite, on commencera par changer l’expression $\mathrm {L^{(X,Y,Z)}}$ des termes $x\mathrm {L} ,x'\mathrm {L} ,$ ou, ce qui est la même chose, des termes $x\mathrm {L^{(X,Y,Z)}} ,x'\mathrm {L^{(X,Y,Z)}} ,$ en $-\mathrm {L} ^{(2a\mathrm {-X,Y,Z} )},$ lorsque $\mathrm {X}$ deviendra plus grand que $a,$ et l’on aura par conséquent ces termes transformés en $-x\mathrm {L} ^{(2a\mathrm {-X,Y,Z} )},-x'\mathrm {L} ^{(2a\mathrm {-X,Y,Z} )},$ sur lesquels on opérera comme auparavant pour en tirer les valeurs de $x$ et $x'.$ Or, puisque les coordonnées qui répondent à $x$ et $x'$ sont les mêmes que celles qui entrent dans l’expression de $\mathrm {L} ,$ il est clair que, sans autre opération, il suffira de changer la valeur $\mathrm {X}$ de l’abscisse de $x$ et $x'$ en $2a-\mathrm {X} ,$ en rendant en même temps ces quantités $x$ et $x'$ négatives. On changera de même les expressions $\mathrm {M^{(X,Y,Z)},N^{(X,Y,Z)}}$ qui entrent dans les termes $\mathrm {M} y,\mathrm {M} y',$ et $\mathrm {N} z,\mathrm {N} z'$ des mêmes formules (D), (E), en $\mathrm {M} ^{(2a\mathrm {-X,Y,Z} )}$ et $\mathrm {N} ^{(2a\mathrm {-X,Y,Z} )},$ et par un raisonnement semblable au précédent, on trouvera que l’abscisse $\mathrm {X} ,$