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Ayant pris trois coordonnées rectangles $x,y,z,$ et la surface étant supposée représentée par l’équation

$dz=pdx+qdy,$

on trouvera, pour l’élément de la quadrature, $dxdy{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}\,:$ par conséquent, la surface entière sera égale à

$\iint dxdy{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}},$

où les deux signes $\iint$ marquent deux intégrations successives, l’une par rapport à $x$ et l’autre par rapport à $y,$ ou réciproquement. On aura donc, suivant notre méthode,

$\delta \iint dxdy{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}=0,$

ce qui se réduit d’abord à

$\iint \delta \left(dxdy{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}\right)=\iint dxdy{\frac {p\delta p+q\delta q}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}=0,$

en différentiant et en supposant $dx,dy$ constantes. Or,

$p=\left({\frac {dz}{dx}}\right),\qquad q=\left({\frac {dz}{dy}}\right)\,;$

donc

$\delta p=\left({\frac {\delta dz}{dx}}\right)=\left({\frac {d\delta z}{dx}}\right),\qquad \delta q=\left({\frac {\delta dz}{dy}}\right)=\left({\frac {d\delta z}{dy}}\right)\,;$

donc

$\iint dxdy{\frac {p}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}\left({\frac {d\delta z}{dx}}\right)+\iint dxdy{\frac {q}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}\left({\frac {d\delta z}{dy}}\right)=0.$

Maintenant, comme dans l’expression $\left({\frac {d\delta z}{dx}}\right),$ $d\delta z$ exprime la différence de $\delta z,$ $x$ seul étant variable, il est clair que pour faire disparaître cette différence, il ne faudra considérer dans la formule

$\iint dxdy{\frac {p}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}\left({\frac {d\delta z}{dx}}\right)$