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que l’intégration relative à $x\,;$ soit donc prise l’intégrale

$\int dx{\frac {p}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}\left({\frac {d\delta z}{dx}}\right)$

où $x$ seul varie, il est facile de la transformer par des intégrations par parties en

${\frac {p}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}\delta z-\int d{\frac {p}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}\delta z,$

ce qui se réduit, en supposant les premiers et les derniers $z$ donnés, à

$-\int d{\frac {p}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}\delta z,$

la différentielle de ${\frac {p}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}$ étant prise en variant seulement $x.$ Soit, pour abréger,

${\frac {p}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}=\mathrm {P} \,;$

on aura, en multipliant par $dy$ et intégrant de nouveau,

$\int dy\int dx{\frac {p}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}\left({\frac {d\delta z}{dx}}\right),$

ou, ce qui est la même chose,

${\begin{aligned}\iint &dxdy{\frac {p}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}\left({\frac {d\delta z}{dx}}\right)\\=&-\int dy\int dx\left({\frac {d\mathrm {P} }{dx}}\right)\delta z=-\iint dxdy\left({\frac {d\mathrm {P} }{dx}}\right)\delta z.\end{aligned}}$

On trouvera de même, en n’ayant égard qu’à la variabilité de $y$ et posant $\mathrm {Q}$ pour ${\frac {q}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}},$

$\int dy{\frac {q}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}\left({\frac {d\delta z}{dy}}\right)=\mathrm {Q} \delta z-\int dy\left({\frac {d\mathrm {Q} }{dy}}\right)\delta z=-\int dy\left({\frac {d\mathrm {Q} }{dy}}\right)\delta z.$

et

$\iint dxdy{\frac {q}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}\left({\frac {d\delta z}{dy}}\right)=-\iint dxdy\left({\frac {d\mathrm {Q} }{dy}}\right)\delta z.$