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Mettant donc cette valeur dans la formule intégrale $\int u\delta ds,$ et faisant disparaître les différentielles de $\delta \varphi ,\delta x,\delta z$ par la voie ordinaire des intégrations par parties, on aura

${\begin{aligned}\int u\delta ds=&-\int \left[d{\frac {ux^{2}d\varphi }{ds}}\delta \varphi +\left(d{\frac {udx}{ds}}-{\frac {uxd\varphi ^{2}}{ds}}\right)\delta x+d{\frac {udz}{ds}}\delta z\right]\\&+{\frac {ux^{2}d\varphi }{ds}}\delta \varphi +{\frac {udx}{ds}})\delta x+{\frac {udz}{ds}}\delta z.\end{aligned}}$

Après la substitution de cette valeur de $\int u\delta ds$ dans l’équation (A) de l’Article I, il n’y aura plus qu’à réduire les différences $\delta p,\delta q,\delta r,\ldots$ aux différence $\delta x,\delta y,\delta z.$ Pour cela soit supposé, en général,

${\begin{aligned}dp=&\mathrm {L} dx\ +l\,\ \ d\varphi +\lambda dz,\\dq=&\mathrm {M} dx+md\varphi +\mu dz,\\dr=&\mathrm {N} dx\,+n\ d\varphi +\nu dz.\end{aligned}}$

on aura de même

${\begin{aligned}dp=&\mathrm {L} dx\,+l\ \ \,d\varphi +\lambda dz,\\dq=&\mathrm {M} dx+md\varphi +\mu dz,\\dr=&\mathrm {N} dx\,+n\ d\varphi +\nu dz.\end{aligned}}$

Donc, si on fait les mêmes suppositions que dans la solution précédente, on aura aussi

$\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots =w\mathrm {P} \delta x+\varpi \delta \varphi +\psi \delta z,$

et l’équation (A) deviendra enfin

(C)

$\left\{{\begin{aligned}-\int \left[\left(d{\frac {ux^{2}d\varphi }{ds}}+\varpi dt\right)\delta \varphi +\left(d{\frac {udx}{ds}}-{\frac {uxd\varphi ^{2}}{ds}}+\Pi dt\right)\delta x\right.&\\+\left.\left(d{\frac {udz}{ds}}+\Psi dt\right)\delta z\right]&\\+{\frac {ux^{2}d\varphi }{ds}}\delta \varphi +{\frac {udx}{ds}}\delta x+{\frac {udz}{ds}}\delta z=&0,\end{aligned}}\right.$

Maintenant, si on suppose, comme dans l’Article II, que le premier et le dernier point de la trajectoire sont donnés, il est clair que les $\delta \varphi ,\delta x,\delta z$ qui y répondent seront nulles d’elles-mêmes, et que par conséquent