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les trois premiers termes de cette équation le seront aussi. Donc, pour satisfaire au reste de l’équation, indépendamment des différences indéterminées \delta\varphi,\delta x,\delta z, on fera chacun de leurs coefficients égal à zéro, et l’on aura pour les équations générales du mouvement du corps

${\begin{aligned}&d{\frac {ux^{2}d\varphi }{ds}}+\varpi dt=0,\\&d{\frac {udx}{ds}}-{\frac {uxd\varphi ^{2}}{ds}}+\Pi dt=0,\\&d{\frac {udz}{ds}}+\Psi dt=0.\end{aligned}}$

Qu’on mette dans ces équations $dt$ pour ${\frac {ds}{u}},$ et qu’on intègre la première, après l’avoir multipliée par ${\frac {x^{2}d\varphi }{dt}},$ on aura

${\frac {1}{2}}\left({\frac {x^{2}d\varphi }{dt}}\right)^{2}=a^{2}-\int \varpi x^{2}d\varphi ,$

d’où l’on tire

$dt={\frac {x^{2}d\varphi }{\sqrt {2a^{2}-2\int \varpi x^{2}d\varphi }}}\,;$

substituant cette valeur dans la seconde équation et faisant, pour abréger,

${\sqrt {2a^{2}-2\int \varpi x^{2}d\varphi }}=\mathrm {U} ,$

on aura

$d{\frac {\mathrm {U} dx}{x^{2}d\varphi }}-{\frac {\mathrm {U} d\varphi }{x}}+{\frac {\Pi x^{2}d\varphi }{\mathrm {U} }}=0,$

ou, en mettant $y$ pour ${\frac {1}{x}},$

$-d{\frac {\mathrm {U} dy}{d\varphi }}-\mathrm {U} yd\varphi +{\frac {\Pi d\varphi }{\mathrm {U} y^{2}}}=0,$

ce qui donnera par la différentiation, en regardant $d\varphi$ comme constante et multipliant par ${\frac {d\varphi }{\mathrm {U} }},$

$-d^{2}y-{\frac {d\mathrm {U} }{\mathrm {U} }}dy-yd\varphi ^{2}+{\frac {\Pi d\varphi ^{2}}{\mathrm {U} ^{2}y^{2}}}=0,$