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valeur commune $dt,$

$[y]\ \ =\mathrm {M} \left[d{\frac {dy}{dt}}+{\frac {y}{x}}\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx}{dt}}\right)\right]$

$-\left[{\frac {y'-y}{x'-x}}-{\frac {y}{x}}\right]\left[\mathrm {M} '\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx'}{dt}}\right)+\mathrm {M} ''\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx''}{dt}}\right)\right.$

$+\left.\mathrm {M} '''\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx'''}{dt}}\right)+\ldots \right],$

$[y']\ =\mathrm {M} '\left[d{\frac {dy'}{dt}}+{\frac {y'-y}{x'-x}}\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx'}{dt}}\right)\right]$

$-\left[{\frac {y''-y'}{x''-x'}}-{\frac {y'-y}{x'-x}}\right]\left[\mathrm {M} ''\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx''}{dt}}\right)+\mathrm {M} '''\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx'''}{dt}}\right)+\ldots \right],$

$[y'']=\mathrm {M} ''\left[d{\frac {dy''}{dt}}+{\frac {y''-y'}{x''-x'}}\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx''}{dt}}\right)\right]$

$-\left[{\frac {y'''-y''}{x'''-x''}}-{\frac {y''-y'}{x''-x'}}\right]\left[\mathrm {M} '''\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx'''}{dt}}\right)+\ldots \right],$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$

et les valeurs de $[z],[z'],[z''],\ldots$ seront les mêmes que celles de $[y],$$[y'],[y''],\ldots ,$ en y mettant simplement $z,z',z'',\ldots$ au lieu de $y,y',y'',\ldots .$

On fera donc, suivant notre méthode,

${\begin{alignedat}{3}[y]=&0,\qquad &[y']=&0,\qquad &[y'']=&0,\ldots ,\\\ [z]=&0,\qquad &[z']=&0,\qquad &[z'']=&0,\ldots ,\end{alignedat}}$

équations qui, avec celles qu’on a trouvées plus haut, suffiront pour résoudre le Problème.

XXV.

Corollaire. — Soient les corps $\mathrm {M,M',M''} ,\ldots$ infiniment petits, et placés à des distances égales les uns des autres ; marquant par la lettre $d$ la différence de deux coordonnées consécutives quelconques, on aura en général

${\frac {y'-y}{x'-x}}={\frac {dy}{dx}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {y''-y'}{x''-x'}}-{\frac {y'-y}{x'-x}}=d{\frac {dy}{dx}}.$