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tout se réduira à faire en sorte que les équations générales $(b),$ $(e)$ satisfassent, après leur intégration, à l’équation donnée

$\operatorname {d} z=m\operatorname {d} x+n\operatorname {d} y.$

XLVII.

Remarque. — Je ne m’étends pas davantage sur cette matière, pour ne point passer les bornes que je me suis prescrites dans le présent Mémoire. Au reste, par les formules et les méthodes données dans ce Problème et dans les précédents, on pourrait encore trouver la solution de plusieurs questions qui concernent les fluides : comme le mouvement d’un fluide enfermé dans un vase mobile, les oscillations d’un corps qui flotte sur un fluide, la résistance qu’un fluide fait à un corps qui s’y meut, et d’autres Problèmes de cette espèce.

XLVIII.

Problème X — Trouver les lois du mouvement des fluides élastiques.

Solution. — Par notre principe général, il faut que la quantité $\mathrm {S} ^{3}dm\int uds$ soit un maximum ou un minimum ; donc, en faisant les mêmes raisonnements que dans le Problème VI, on trouvera l’équation

$\int \mathrm {S} ^{3}dm\left(u\delta udt-d{\frac {dx}{dt}}\delta x-d{\frac {dy}{dt}}\delta y-d{\frac {dz}{dt}}\delta z\right)=0.$

Or, si aucune force n’agissait entre les corpuscules $dm,$ on aurait, conformément à la formule (X) du même Problème,

$\mathrm {S} ^{3}dm\,u\delta u\,dt=\mathrm {S} ^{3}dm\left(\Pi dt\delta x+\varpi dt\delta y+\Psi dt\delta z\right)\,;$

mais le fluide étant supposé élastique, on doit regarder chaque particule comme un ressort qui agit de tous côtés sur les particules contiguës. Nommant $\mathrm {F}$ la force du ressort, et $f$ l’espace par lequel il tend à se