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dilater, on trouvera, en appliquant ici la formule (U) de l’Article VIII,

$\mathrm {S} ^{3}dmu\delta u=-\mathrm {S} ^{3}dm(\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots )-\mathrm {S^{3}F} \delta f,$

ou, en mettant $\Pi \delta x+s\varpi \delta y+\Psi \delta z$ au lieu de $\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots ,$ et prenant $\mathrm {F}$ négativement à cause que cette force tend ici à éloigner les particules,

$\mathrm {S} ^{3}dm\,u\delta u=-\mathrm {S} ^{3}dm(\Pi \delta x+\varpi \delta y+\Psi \delta z)+\mathrm {S^{3}F} \delta f.$

Substituant cette valeur dans l’équation ci-dessus, et mettant au lieu de $dm$ sa valeur $\mathrm {D} \operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z,$ on aura donc

$(n)\left\{{\begin{aligned}-\int \mathrm {S} ^{3}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {D} \left[\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta x+\left(d{\frac {dy}{dt}}+\varpi dt\right)\delta y\right.&\\\left.+\left(d{\frac {dz}{dt}}+\Psi dt\right)\delta z\right]+\int \mathrm {S^{3}F} \delta fdt&=0.\end{aligned}}\right.$

Or, comme l’action du ressort $\mathrm {F}$ consiste à augmenter le volume de chaque particule $dm,$ il est clair qu’il faudra prendre ce volume même pour la valeur de l’espace $f\,;$ donc $f=\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\,;$ par conséquent,

${\begin{aligned}\delta f=&\operatorname {d} y\operatorname {d} z\delta \operatorname {d} x+\operatorname {d} x\operatorname {d} z\delta \operatorname {d} y+\operatorname {d} x\operatorname {d} y\delta \operatorname {d} z,\\=&\operatorname {d} y\operatorname {d} z\operatorname {d} \delta x+\operatorname {d} x\operatorname {d} z\operatorname {d} \delta y+\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} \delta z,\end{aligned}}$

en transposant les signes $\delta ,\operatorname {d} \,;$ donc

${\begin{aligned}\mathrm {S} ^{3}\mathrm {F} \delta f=&\mathrm {S} ^{3}(\mathrm {F} \operatorname {d} y\operatorname {d} z\operatorname {d} \delta x+\mathrm {F} \operatorname {d} x\operatorname {d} z\operatorname {d} \delta y+\mathrm {F} \operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} \delta z)\\=&\mathrm {S} ^{3}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\left({\frac {\mathrm {F} }{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta x+{\frac {\mathrm {F} }{\operatorname {d} y}}\operatorname {d} \delta y+{\frac {\mathrm {F} }{\operatorname {d} z}}\operatorname {d} \delta z\right),\end{aligned}}$

formule qu’on peut mettre sous cette forme :

$\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {S} \operatorname {d} x{\frac {\mathrm {F} }{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta x+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z\mathrm {S} \operatorname {d} y{\frac {\mathrm {F} }{\operatorname {d} y}}\operatorname {d} \delta y+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\mathrm {S} \operatorname {d} z{\frac {\mathrm {F} }{\operatorname {d} z}}\operatorname {d} \delta z.$

Or $\mathrm {S} \operatorname {d} x{\frac {\mathrm {F} }{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta x$ se réduit, en intégrant par parties, à

$\mathrm {F} \delta x-\mathrm {S} \operatorname {d} x{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} x}}\delta x$