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nelle à la densité ; supposons donc, pour plus de généralité, que cette force soit comme une fonction quelconque donnée de la densité, en sorte que $d\mathrm {F=E} d\mathrm {D} \,;$ on aura

${\frac {d\mathrm {F} }{dx}}=\mathrm {E} {\frac {d\mathrm {D} }{dx}},\qquad {\frac {d\mathrm {F} }{dy}}=\mathrm {E} {\frac {d\mathrm {D} }{dy}},\qquad {\frac {d\mathrm {F} }{dz}}=\mathrm {E} {\frac {d\mathrm {D} }{dz}}.$

Ensuite, pour trouver $\mathrm {D} ,$ on observera que la masse $dm$ de chaque particule du fluide est $\mathrm {D} \operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z,$ et que cette masse reste toujours la même quelque mouvement que le fluide reçoive ; donc sa différentielle, en faisant varier $t,$ doit être nulle, ce qui donne

${\frac {d(\mathrm {D} \operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z)}{dt}}=0,$

savoir :

${\frac {d\mathrm {D} }{dt}}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z+{\frac {d\operatorname {d} x}{dt}}\mathrm {D} \operatorname {d} y\operatorname {d} z+{\frac {d\operatorname {d} y}{dt}}\mathrm {D} \operatorname {d} x\operatorname {d} z+{\frac {d\operatorname {d} z}{dt}}\mathrm {D} \operatorname {d} x\operatorname {d} y=0,$

ou

$(s)\qquad \qquad \qquad {\frac {\cfrac {d\mathrm {D} }{dt}}{\mathrm {D} }}+{\frac {\cfrac {d\operatorname {d} x}{dt}}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\cfrac {d\operatorname {d} y}{dt}}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\cfrac {d\operatorname {d} z}{dt}}{\operatorname {d} z}}=0.$

Or

${\frac {d\operatorname {d} x}{dt}}=\operatorname {d} {\frac {dx}{dt}}=\operatorname {d} \alpha \,;$

donc

${\frac {\cfrac {d\operatorname {d} x}{dt}}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} \alpha }{\operatorname {d} x}}\,;$

on trouve de même

${\frac {\cfrac {d\operatorname {d} y}{dt}}{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} y}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {\cfrac {d\operatorname {d} z}{dt}}{\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} \gamma }{\operatorname {d} z}}\,;$

de plus, ${\frac {d\mathrm {D} }{dt}}dt$ exprime la variation de $\mathrm {D}$ dans l’instant $dt\,;$ donc, si l’on suppose que $\mathrm {D}$ soit représenté par une fonction quelconque de $x,y,z,t,$ on trouvera que la valeur complète de ${\frac {d\mathrm {D} }{dt}}dt$ sera

${\frac {d\mathrm {D} }{dt}}dt+{\frac {d\mathrm {D} }{dx}}\alpha dt+{\frac {d\mathrm {D} }{dy}}\beta dt+{\frac {d\mathrm {D} }{dz}}\gamma dt\,;$