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${\begin{aligned}&\mathrm {N} z{\frac {dy}{dt}}-{\frac {d\mathrm {N} z}{dt}}y+\int {\frac {d^{2}\mathrm {N} z}{dt^{2}}}ydt,\\&\mathrm {P} z{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-{\frac {d\mathrm {P} z}{dt}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {d^{2}\mathrm {P} z}{dt^{2}}}y-\int {\frac {d^{3}\mathrm {P} z}{dt^{3}}}ydt,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

j’ai, en ordonnant les termes par rapport à $y,$

${\begin{aligned}y&\left(\mathrm {M} z-{\frac {d\mathrm {N} z}{dt}}+{\frac {d^{2}\mathrm {P} z}{dt^{2}}}-\ldots \right)\\&+{\frac {dy}{dt}}\left(\mathrm {N} z-{\frac {d\mathrm {P} z}{dt}}+\ldots \right)+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}(\mathrm {P} z-\ldots )+\ldots \\&+\int \left(\mathrm {L} z-{\frac {d\mathrm {M} z}{dt}}+{\frac {d^{2}\mathrm {N} z}{dt^{2}}}-{\frac {d^{3}\mathrm {P} z}{dt^{3}}}+\ldots \right)ydt=\int \mathrm {T} zdt.\end{aligned}}$

Soit maintenant

(B)

$\mathrm {L} z-{\frac {d\mathrm {M} z}{dt}}+{\frac {d^{2}\mathrm {N} z}{dt^{2}}}-{\frac {d^{3}\mathrm {P} z}{dt^{3}}}+\ldots =0,$

et l’équation précédente se réduira à celle-ci

(C)

$\left\{{\begin{aligned}y&\left(\mathrm {M} z-{\frac {d\mathrm {N} z}{dt}}+{\frac {d^{2}\mathrm {P} z}{dt^{2}}}-\ldots \right)\\&+{\frac {dy}{dt}}\left(\mathrm {N} z-{\frac {d\mathrm {P} z}{dt}}+\ldots \right)+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}(\mathrm {P} z-\ldots )+\ldots =\int \mathrm {T} zdt,\end{aligned}}\right.$

laquelle est d’un ordre moins élevé d’une unité que l’équation proposée (A).

2. Donc : 1^o si l’on peut trouver une valeur de $z,$ laquelle satisfasse à l’équation (B), on aura tout de suite l’intégrale de l’équation proposée (A), en mettant cette valeur dans l’équation (C) ; 2^o si l’on avait deux valeurs différentes de $z,$ lesquelles satisfissent également à l’équation (B), on aurait, par la substitution successive de ces valeurs dans l’équation (C), deux intégrales de l’équation (A), à l’aide desquelles on éliminerait la plus haute différentielle de $y,$ et l’équation résultante serait l’intégrale seconde de la proposée (j’entends par intégrale première, ou intégrale simplement, une équation qui est d’un ordre moins