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Or, comme $r_{1},r_{2},r_{3},\ldots ,r_{m}$ sont les racines de l’équation (L), si l’on représente cette équation par

$a+br+cr2+dr^{3}+\ldots +tu^{(m-1)}+ur^{m}=0,$

on aura, par la théorie des équations,

$1+\mathrm {\frac {N'}{N}} r+\mathrm {\frac {N''}{N}} r^{2}+\mathrm {\frac {N'''}{N}} r^{3}+\ldots +{\frac {\mathrm {N} ^{(m-1)}}{\mathrm {N} }}r^{(m-1)}$

$={\frac {1+{\cfrac {b}{a}}r+{\cfrac {c}{a}}r^{2}+{\cfrac {d}{a}}r^{3}+\ldots +{\cfrac {u}{a}}r}{1-{\cfrac {r}{r_{\mu }}}}}\,;$

donc, multipliant par $1-{\frac {r}{r_{\mu }}}$ et comparant les termes, on aura

${\begin{aligned}&\mathrm {\frac {N'}{N}} \ \ -{\frac {1}{r_{\mu }}}={\frac {b}{a}},\\&\mathrm {\frac {N''}{N}} \ -{\frac {1}{r_{\mu }}}\mathrm {\frac {N'}{N}} \ ={\frac {c}{a}},\\&\mathrm {\frac {N'''}{N}} -{\frac {1}{r_{\mu }}}\mathrm {\frac {N''}{N}} ={\frac {d}{a}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}&\mathrm {N} '\ \ ={\frac {\mathrm {N} }{ar_{\mu }}}\left(a+br_{\mu }\right),\\&\mathrm {N} ''\ ={\frac {\mathrm {N} }{ar_{\mu }^{2}}}\left(a+br_{\mu }+cr_{\mu }^{2}\right),\\&\mathrm {N} '''={\frac {\mathrm {N} }{ar_{\mu }^{3}}}\left(a+br_{\mu }+cr_{\mu }^{2}+dr_{\mu }^{3}\right),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&\mathrm {N} ^{(m-1)}={\frac {\mathrm {N} }{ar_{\mu }^{(m-1)}}}\left(a+br_{\mu }+cr_{\mu }^{2}+dr_{\mu }^{3}+\ldots +tr_{\mu }^{m-1}\right).\end{aligned}}$

Faisant ces substitutions dans la formule (Q), on verra que la quantité $\mathrm {N}$ disparaîtra d’elle-même ; de sorte que l’on aura la valeur de chacun des coefficients $\mathrm {M} .$

Soit maintenant $\mathrm {R=0,\ R'=0,\ R''=0,\ldots ,R} ^{(m-2)}=0,$ on aura

$\mathrm {M} ^{(\mu )}={\frac {\mathrm {N} ^{(m-1)}\mathrm {R} ^{(m-1)}}{\mathrm {N} +\mathrm {N} 'r_{\mu }+\mathrm {N} ''r_{\mu }^{2}+\ldots +\mathrm {N} ^{(m-1)}r_{\mu }^{m-1}}},$