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Or

$\mathrm {N} ^{(m-1)}={\frac {\mathrm {N} }{ar_{\mu }^{(m-1)}}}\left(a+br_{\mu }+cr_{\mu }^{2}+\ldots +tr_{\mu }^{m-1}\right)\,;$

et comme

$a+br+cr^{2}+\ldots +tr^{m-1}+ur^{m}=0,$

on a, en mettant $r_{\mu }$ au lieu de $r,$

$a+br_{\mu }+cr_{\mu }^{2}+\ldots +tr_{\mu }^{m-1}=-ur_{\mu }^{m}\,;$

donc

$\mathrm {N} ^{(m-1)}={\frac {\mathrm {N} }{ar_{\mu }^{(m-1)}}}\left(-ur_{\mu }^{m}\right)=-{\frac {\mathrm {N} u}{a}}r_{\mu }.$

De plus, on a

${\frac {\mathrm {N} +\mathrm {N} 'r+\mathrm {N} ''r^{2}+\ldots +\mathrm {N} ^{(m-1)}r^{m-1}}{\mathrm {N} }}={\frac {a+br+c^{2}+\ldots +ur^{m}}{a\left(1-{\cfrac {r}{r_{\mu }}}\right)}}\,;$

donc, si l’on fait pareillement $r=r_{\mu },$ on aura, en prenant la différence du numérateur et du dénominateur, à cause que l’un et l’autre s’évanouissent dans ce cas,

${\frac {\mathrm {N} +\mathrm {N} 'r_{\mu }+\mathrm {N} ''r_{\mu }^{2}+\ldots +\mathrm {N} ^{(m-1)}r_{\mu }^{m-1}}{\mathrm {N} }}$

$=-{\frac {b+2cr_{\mu }+3dr_{\mu }^{2}+\ldots +mur_{\mu }^{m-1}}{\cfrac {a}{r_{\mu }}}},$

donc

$\mathrm {M} ^{(\mu )}={\frac {u\mathrm {R} ^{(m-1)}}{b+2cr_{\mu }+3dr_{\mu }^{2}+\ldots }}.$

Soit

$\mathrm {A} -\mathrm {B} k(r+1)+\mathrm {C} k^{2}(r+1)(r+2)-\ldots \mp \mathrm {V} k^{m}(r+1)(r+2)\ldots (r+m)=\mathrm {P} ,$

de sorte que l’équation (L) soit représentée par $\mathrm {P} =0,$ on aura

$a+br+cr^{2}+\ldots +ur^{m}=\mathrm {P} \,;$

donc

$u=\mp \mathrm {V} k^{m}$

(le signe supérieur étant pour le cas de $m$ impair, et l’inférieur pour