celui de
pair), et
![{\displaystyle b+2cr+3dr^{2}+\ldots ={\frac {d\mathrm {P} }{dr}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f75d0666a684cd6b4cdea2cf13ca5eeeb00f9904)
Donc, si l’on fait
et qu’on dénote par
les valeurs de
lorsque
devient
on aura
![{\displaystyle \mathrm {M} '={\frac {+\mathrm {V} k^{m}\mathrm {R} ^{(m-1)}}{\mathrm {Q} _{1}}},\qquad \mathrm {M} ''={\frac {+\mathrm {V} k^{m}\mathrm {R} ^{(m-1)}}{\mathrm {Q} _{2}}},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23d3a6d7c013075c228543cd6f0fef68fe9c1c20)
Substituant donc ces valeurs dans la formule (P), et faisant attention que
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {M'\alpha _{1}+M''\alpha _{2}+M'''\alpha _{3}} +\ldots \\&\qquad \qquad =\pm \mathrm {V} k^{(m-1)}\left(\mathrm {M} 'r_{1}^{(m-1)}+\mathrm {M} ''r_{2}^{(m-1)}+\mathrm {M} '''r_{3}^{(m-1)}+\ldots \right)\\&\qquad \qquad =\pm \mathrm {V} k^{(m-1)}\mathrm {R} ^{(m-1)},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a45a63f96476b396a46a4fea893a9f07216b548)
on aura enfin
(R)
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|
|
D’où l’on voit que chaque racine de l’équation
donne, dans la valeur de
un terme correspondant tel que
16. Toute la difficulté se réduit donc à résoudre l’équation
or il peut arriver deux cas qu’il est bon d’examiner : le premier est celui où cette équation aurait des racines égales, le second celui où elle aurait des racines imaginaires.
1o Supposons que l’on trouve deux racines égales, par exemple
on fera
étant une quantité évanouissante ; et, comme
peut être représenté en général par
on aura
![{\displaystyle \mathrm {Q} ={\frac {d\mathrm {P} }{dr}}=\left(r-r_{2}\right)\Pi +\left(r-r_{1}\right)\Pi +\left(r-r_{1}\right)\left(r-r_{2}\right){\frac {d\Pi }{dr}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e20dddaa0607baf3f9a617f6f89466498120f462)
donc, faisant successivement
et
et substituant
au lieu de
on aura
![{\displaystyle \mathrm {Q} _{1}=-\omega \Pi _{1},\quad {\text{et}}\quad \mathrm {Q} _{2}=-\omega \Pi _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/049d3528e8ba1d62c4624abb5a239b3704262f5b)
étant la valeur de
lorsque
Pour trouver cette valeur, on