aux quantités du second ordre. De cette manière on trouvera que les trois termes
deviendront
![{\displaystyle -k{\frac {6(h+kt)^{-r_{1}-1}}{\mathrm {S} _{1}}}\int {\frac {kdt}{h+kt}}\int {\frac {kdt}{h+kt}}\int \mathrm {T} (h+kt)^{r_{1}}dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2300e47b50713ce37f243f97d2f906d1ecaee72f)
étant égal à
et
exprimant la valeur de
lorsque
et ainsi de suite.
2o Supposons maintenant que les deux racines
et
soient imaginaires, en sorte que
et
il est facile de voir que les quantités
et
seront de cette forme : ![{\displaystyle \mathrm {Q_{1}=M+N} {\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c3d5acae3c3e73a0bec84f3bf7ceae44d846809)
de plus, les quantités
et
viendront
![{\displaystyle (h+kt)^{-\mathrm {F} -1}(h+kt)^{-\mathrm {G} {\sqrt {-1}}},\quad {\text{et}}\quad (h+kt)^{\mathrm {F} }(h+kt)^{\mathrm {G} {\sqrt {-1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ae43c5ae316525ed09fd246c68e4871b8552f6e)
Or soit
![{\displaystyle (h+kt)^{\mathrm {G} {\sqrt {-1}}}=\lambda \left(\cos \varphi +\sin \varphi {\sqrt {-1}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a62a7f85f79aea901281809feddb0c31531a7eb)
on aura par les logarithmes
![{\displaystyle \mathrm {G} {\sqrt {-1}}\log(h+kt)=\log \lambda +\varphi {\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/163a1f96f8927eb26f41bef9a5b9dcc0eac53b22)
donc
savoir
![{\displaystyle \lambda =1,\quad {\text{et}}\quad \varphi =\mathrm {G} \log(h+kt),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddd78c6adf70e2d77b92bbcdf75f3e6c0d2e0a7d)
donc
![{\displaystyle (h+kt)^{\mathrm {G} {\sqrt {-1}}}=\cos \left[\mathrm {G} \log(h+kt)\right]+\sin \left[\mathrm {G} \log(h+kt)\right]{\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c5d8cf3642f680799d1863c349b5de941242e56)
et prenant le radical
en ![{\displaystyle -,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e7363422f6855d1910aeb4922a790ea855288a0)
![{\displaystyle (h+kt)^{-\mathrm {G} {\sqrt {-1}}}=\cos \left[\mathrm {G} \log(h+kt)\right]-\sin \left[\mathrm {G} \log(h+kt)\right]{\sqrt {-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9c7f9805762758300d437456e8bed3d4903536f)
par ces substitutions on réduira les quantités
et
à la forme
de sorte que les deux termes
de l’expression de
se changeront en
![{\displaystyle -k\mathrm {\frac {X+Y{\sqrt {-1}}}{M+N{\sqrt {-1}}}} -k\mathrm {\frac {X-Y{\sqrt {-1}}}{M-N{\sqrt {-1}}}} =-2k\mathrm {\frac {MX+NY}{M^{2}+N^{2}}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dafbeed5b79de0f5d615e51e430092646820a33a)