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Application à l’équation

$\mathrm {A} y+\mathrm {B} {\frac {dy}{dt}}+\mathrm {C} {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {D} {\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}+\ldots =\mathrm {T} .$

17. On aura dans ce cas $h=1$ et $k=0\,;$ mais comme la supposition de $k=0$ donnerait $\mathrm {P=A} =0,$ on supposera simplement $k$ infiniment petite, et ensuite $r$ infiniment grande, en sorte que $kr$ soit égal à une quantité finie $\rho \,:$ de cette manière on aura

$\mathrm {P=A-B} \rho +\mathrm {C} \rho ^{2}-\mathrm {D} \rho ^{3}+\ldots =0,$

équation d’où l’on tirera autant de valeurs de $\rho$ qu’il y a d’unités dans l’exposant de l’ordre de l’équation différentielle, de sorte que, si l’on appelle $\rho _{1},\rho _{2},\rho _{3},\ldots ,$ les racines de cette équation, on aura

$r_{1}={\frac {\rho _{1}}{k}},\qquad r_{2}={\frac {\rho _{2}}{k}},\ldots .$

Or on a $\mathrm {Q} ={\frac {d\mathrm {P} }{dr}}\,;$ donc, si l’on fait ${\frac {d\mathrm {P} }{d\rho }}=\scriptstyle \mathrm {Q} ,$ on aura $\mathrm {Q} =k\scriptstyle \mathrm {Q} ,$ et par conséquent

$\mathrm {Q} _{1}=k\scriptstyle \mathrm {Q} _{1},\qquad \displaystyle \mathrm {Q} _{2}=k\scriptstyle \mathrm {Q} _{2},$

donc

$y=-\left({\frac {\theta _{1}}{\scriptstyle \mathrm {Q} _{1}}}+{\frac {\theta _{2}}{\scriptstyle \mathrm {Q} _{2}}}+{\frac {\theta _{3}}{\scriptstyle \mathrm {Q} _{3}}}+\ldots \right).$

Or

$\theta =(h+kt)^{-r-1}\int \mathrm {T} (h+kt)^{r}dt\,;$

donc, si l’on fait $h=1,$ et qu’on mette ${\frac {\rho }{k}}$ au lieu de $r,$ on aura, à cause de $r=\infty ,$

$\theta =(1+kt)^{-{\frac {\rho }{k}}}\int \mathrm {T} (1+kt)^{\frac {\rho }{k}}dt\,;$

mais on sait que

$(1+kt)^{\pm {\frac {\rho }{k}}}dt=e^{\pm \rho t}$