Présentement on trouvera, par le numéro précédent,
![{\displaystyle {\begin{aligned}p=&{\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi }}\left[{\frac {1}{2}}\varphi (t)-{\frac {\varphi (x+t)+\varphi (x-t)}{1+1}}+{\frac {\varphi (x+2t)+\varphi (x-2t)}{4+1}}-\ldots \right]\\&-{\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi }}\left[{\frac {\psi (x+t)-\psi (x-t)}{1+1}}-2{\frac {\psi (x+2t)-\psi (x-2t)}{4+1}}+\ldots \right],\\q=&{\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi }}\left[{\frac {\varphi (x+t)-\varphi (x-t)}{1+1}}-2{\frac {\varphi (x+2t)-\varphi (x-2t)}{4+1}}+\ldots \right]\\&+{\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi }}\left[{\frac {1}{2}}\psi (x)-{\frac {\psi (x+t)+\psi (x-t)}{1+1}}+{\frac {\psi (x+2t)+\psi (x-2t)}{4+1}}-\ldots \right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b106efe0af255ae132d700f783489dfd03f5e3dc)
Donc, puisque
doit être égale à zéro, lorsque
et
il faudra que l’on ait
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\varphi (t)-\varphi (-t)}{1+1}}-2{\frac {\varphi (2t)-\varphi (-2t)}{4+1}}+\ldots \\&\quad +{\frac {1}{2}}\psi (0)-{\frac {\psi (t)+\psi (-t)}{1+1}}+{\frac {\psi (2t)+\psi (-2t)}{4+1}}-\ldots =0,\\\\&{\frac {\varphi (a+t)-\varphi (a-t)}{1+1}}-2{\frac {\varphi (a+2t)-\varphi (a-2t)}{4+1}}+\ldots \\&\quad +{\frac {1}{2}}\psi (a)-{\frac {\psi (a+t)+\psi (a-t)}{1+1}}+{\frac {\psi (a+2t)+\psi (a-2t)}{4+1}}-\ldots =0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37cc51c7427ab12aee3cd8004be7ea89bc16f678)
ou bien, atin que les fonctions
et
ne dépendent point l’une de l’autre,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\varphi (t)-\varphi (-t)}{1+1}}-2{\frac {\varphi (2t)-\varphi (-2t)}{4+1}}+\ldots =0,\\&{\frac {\varphi (a+t)-\varphi (a-t)}{1+1}}-2{\frac {\varphi (a+2t)-\varphi (a-2t)}{4+1}}+\ldots =0,\\&{\frac {1}{2}}\psi (0)-{\frac {\psi (t)+\psi (-t)}{1+1}}+{\frac {\psi (2t)+\psi (-2t)}{4+1}}-\ldots =0,\\&{\frac {1}{2}}\psi (a)-{\frac {\psi (a+t)+\psi (a-t)}{1+1}}+{\frac {\psi (a+2t)+\psi (a-2t)}{4+1}}-\ldots =0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d944b348fc4574d926212d2f5b27f850b85466e)
Pour satisfaire à ces quatre conditions, on supposera que les fonctions
et
soient telles, que l’on ait en général, quelle que soit la valeur de ![{\displaystyle u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30dcc93e14b40416ed2d1391bc6c08ee99fa5ff6)
![{\displaystyle \varphi (u)=\varphi (-u),\qquad \varphi (a+u)=\varphi (a-u),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d11801115ca5ee08863d4f7d629c67e7a0b58d7d)
![{\displaystyle \psi (u)=-\psi (-u),\qquad \psi (a+u)=-\psi (a-u),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e0863c54e98405a8a5b44d63d4f886a66d5d3f3)