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ce qui servira à déterminer la continuation des deux échelles données pour les abscisses négatives et pour les abscisses plus grandes que $0\,;$ laquelle devra par conséquent être telle, que les ordonnées également distantes de part et d’autre des deux extrémités de l’axe $a$ soient égales et de même signe dans la courbe des vitesses $p,$ et de signes différents dans la courbe des vitesses $q\,;$ d’où il s’ensuit que la première de ces courbes sera composée d’une infinité de branches égales et semblables, toutes du même côté de l’axe, et disposées alternativement en sens contraire, et que l’autre aura de même une infinité de branches égales et semblables, mais situées alternativement au-dessus et au-dessous de l’axe.

Ayant donc décrit ces deux courbes, on aura, par les séries données ci-dessus, les valeurs approchées des vitesses $p$ et $q$ de chaque particule du fluide ; d’où l’on voit que le mouvement d’un fluide qui se meut dans un canal droit est déterminé par le mouvement que ce fluide a dans une section quelconque de ce même canal.

De plus il est clair, par la nature des courbes qui représentent les fonctions $\varphi$ et $\psi ,$ qu’en augmentant ou en diminuant la quantité $t$ de $2a,$ ou de $4a,$ ou de $6a,\ldots ,$ les valeurs de $p$ et de $q$ demeurent les mêmes ; d’où il s’ensuit que si l’on imagine le fluide divisé en portions égales par des droites perpendiculaires aux parois du canal, et placées à la distance $2a$ les unes des autres, chacune de ces portions du fluide aura nécessairement le même mouvement.

Si le fluide était terminé par une ligne droite perpendiculaire aux parois du vase, alors prenant cette même ligne pour l’axe des $x,$ il faurait que $p=0$ lorsque $t=\,;0$ donc $\varphi (x)=0,$ et par conséquent

${\begin{aligned}p=&-{\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi }}\left[{\frac {\psi (x+t)-\psi (x-t)}{1+1}}-2{\frac {\psi (x+2t)-\psi (x-2t)}{4+1}}+\ldots \right]\\q=&{\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi }}\left[{\frac {1}{2}}\psi (x)-{\frac {\psi (x+t)-\psi (x-t)}{1+1}}+{\frac {\psi (x+2t)+\psi (x-2t)}{4+1}}-\ldots \right].\end{aligned}}$

Or, puisque la valeur de $p$ est nulle lorsque $t=0,$ elle le sera aussi lorsque $t$ est égal à $2a,4a,\ldots \,;$ ainsi le fluide aura dans ce cas le même