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savoir

$v={\sqrt {a^{2}-2aa'\cos \theta +a'^{2}+2i\left(a^{2}y+a'^{2}y'\right)-2iaa'(y+y')\cos \theta }},$

d’où l’on tire par les séries

${\begin{aligned}{\frac {1}{v^{3}}}&=\left[a^{2}-2aa'\cos \theta +a'^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\\&-3i\left[a^{2}y+a'^{2}y'-aa'(y+y')\cos \theta \right]\left[a^{2}-2aa'\cos \theta +a'^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}}.\end{aligned}}$

Or les quantités

$\left[a^{2}-2aa'\cos \theta +a'^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\quad {\text{et}}\quad \left[a^{2}-2aa'\cos \theta +a'^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}}$

étant irrationnelles, il est nécessaire de les réduire à une forme rationnelle, sans quoi l’intégration des équations proposées ne réussirait point.

Pour cela je remarque qu’en faisant $a'=\alpha a,$ la question se réduit à changer en une fonction rationnelle une quantité de cette forme $\left(1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}\right)^{-s},$ dans laquelle $\alpha$ est une fraction moindre que l’unité. Or, puisque

$1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}=\left[1-\alpha \left(\cos \theta +\sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\right]\left[1-\alpha \left(\cos \theta -\sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\right],$

on élèvera la quantité $1-\alpha \left(\cos \theta \pm \sin \theta {\sqrt {-1}}\right)$ à la puissance $-s\,:$ ce qui, à cause de

$\left(\cos \theta \pm \sin \theta {\sqrt {-1}}\right)^{m}=\cos m\theta \pm \sin m\theta {\sqrt {-1}},$

donnera

${\begin{aligned}\end{aligned}}$

$\left[1-\alpha \left(\cos \theta \pm \sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\right]^{-s}$

${\begin{aligned}=1&+s\alpha \left(\cos \theta \pm \sin \theta {\sqrt {-1}}\right)+{\frac {s(s+1)}{2}}\alpha ^{2}\left(\cos 2\theta \pm \sin 2\theta {\sqrt {-1}}\right)\\&+{\frac {s(s+1)(s+2)}{2.3}}\alpha ^{3}\left(\cos 3\theta \pm \sin 3\theta {\sqrt {-1}}\right)+\ldots .\end{aligned}}$

De sorte que, si l’on fait

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&1+s\alpha \cos \theta +{\frac {s(s+1)}{2}}\alpha ^{2}\cos 2\theta +{\frac {s(s+1)(s+2)}{2.3}}\alpha ^{3}\cos 3\theta +\ldots ,\\\mathrm {Q} =&s\alpha \sin \theta +{\frac {s(s+1)}{2}}\alpha ^{2}\sin 2\theta +{\frac {s(s+1)(s+2)}{2.3}}\alpha ^{3}\sin 3\theta +\ldots ,\end{aligned}}$