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on aura

$\left[1-\alpha (\cos \theta +\sin \theta {\sqrt {-1}})\right]^{-s}=\mathrm {P+Q} {\sqrt {-1}}$

et

$\left[1-\alpha (\cos \theta -\sin \theta {\sqrt {-1}})\right]^{-s}=\mathrm {P-Q} {\sqrt {-1}}$.

Donc

$\left(i-2a\cos \theta +\alpha ^{2}\right)^{-s}=\mathrm {P^{2}+Q^{2}} .$

Or, si l’on fait les carrés des deux séries $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ et qu’on ajoute ensemble les termes qui auront le même coefficient, en faisant attention que

$\cos m\theta \cos n\theta 9+\sin m\theta \sin n\theta =\cos(m-n)\theta ,$

on trouvera

$\left(1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}\right)^{-s}={\mathfrak {A}}+{\mathfrak {B}}\cos \theta +{\mathfrak {C}}cos2\theta +{\mathfrak {D}}\cos 3\theta +\ldots ,$

les coefficients ${\mathfrak {A,B,C}},\ldots$ étant exprimés de la manière suivante :

${\begin{aligned}{\mathfrak {A}}\ =&1+s^{2}\alpha ^{2}+\left[{\frac {s(s+1)}{2}}\right]^{2}\alpha ^{4}+\left[{\frac {s(s+1)(s+2)}{2.3}}\right]^{2}\alpha ^{6}+\ldots ,\\{\frac {\mathfrak {B}}{2}}=&s\alpha +s{\frac {s(s+1)}{2}}\alpha ^{3}+{\frac {s(s+1)}{2}}{\frac {s(s+1)(s+2)}{2.3}}\alpha ^{5}+\ldots ,\\{\frac {\mathfrak {C}}{2}}=&{\frac {s(s+1)}{2}}\alpha ^{2}+s{\frac {s(s+1)(s+2)}{2.3}}\alpha ^{4}+{\frac {s(s+1)}{2}}{\frac {s(s+1)(s+2)(s+3)}{2.3.4}}\alpha ^{6}+\ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Au reste, quand on aura déterminé par ces séries les deux premiers coefficients ${\mathfrak {A}}$ et ${\mathfrak {B}},$ on trouvera tous les suivants d’une manière très-simple et très-facile ; car, si l’on prend les différentielles logarithmiques de l’équation

$\left(1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}\right)^{-s}={\mathfrak {A+B}}\cos \theta +{\mathfrak {C}}\cos 2\theta +\ldots ,$

et qu’après avoir multiplié les deux membres en croix on compare terme à terme, on aura, comme M. Euler l’a trouvé le premier dans ses Recherches sur le mouvement de Saturne,

${\mathfrak {C}}={\frac {\left(1+\alpha ^{2}\right){\mathfrak {B}}-2s\alpha {\mathfrak {A}}}{(2-s)\alpha }},$