par hypothèse,
ne le sera pas, de sorte que
et
seront premiers entre eux.
Qu’on prenne maintenant une autre quelconque des équations du no 4, comme
et qu’on la combine avec l’équation
en opérant sur ces deux équations comme nous venons de faire sur les équations
et
on aura des résultats analogues aux précédents, dont on tirera par conséquent des conclusions semblables. Ainsi il faudra que l’une ou l’autre de ces quantités
soit divisible par
ce qui se réduit au cas du no 6 ; ou bien que l’une le soit par
l’autre par
Donc, faisant dans ce dernier cas
![{\displaystyle xy''\pm yx''=q'\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f39207449e9e4ce85ccc6baf1b8a43e2cea1546f)
et ensuite
![{\displaystyle xx''\pm ayy''=p'\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b8bbd6b3bfcc013872fdc8747cc7e8cedec1b6e)
on parviendra de même à l’équation
(D)
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dans laquelle
et
seront aussi premiers entre eux.
Or les deux équations (C) et (D) donneront ces deux-ci :
(E)
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(F)
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Ainsi, à cause que
est un nombre premier, il faudra, en vertu de l’équation (F), que l’une ou l’autre des quantités
soit divisible par
ou bien que l’une et l’autre soient divisibles en même temps par
mais alors il faudrait aussi que leur somme
fût divisible par
ce qui ne peut être, à cause que ni
ni
n’est divisible par
à moins que
ne soit égal à
Supposons d’abord que
soit différent de
et l’on aura nécessairement
![{\displaystyle pq'\pm qp'=s\mathrm {A} ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/262e26605a9156033908e85b30c6f8b17ca9ca0c)