Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/763

désignerons par $p'''$ et $q''',$ seront exprimées ainsi :

${\begin{aligned}p'''=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{4}+\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{4}}{2}},\\q'''=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{4}-\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{4}}{2{\sqrt {a}}}},\end{aligned}}$

et ainsi des autres à l’infini ; d’où l’on conclura en général que les valeurs de $x$ et $y,$ dont le quantième sera $m$ à commencer des premières valeurs $p$ et $q,$ seront exprimées de la manière suivante :

${\begin{aligned}x=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m}+\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{m}}{2}},\\y=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m}-\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{m}}{2{\sqrt {a}}}},\end{aligned}}$

comme dans le n^o 15.

Ainsi ayant trouvé les premières valeurs $p$ et $q,$ on sera assuré d’avoir par ces formules toutes les valeurs possibles de $x$ et de $y$ propres à satisfaire à l’équation $x^{2}-ay^{2}=1.$

18. Je dis maintenant que tous les nombres $x$ et $y$ qui satisfont à l’équation

$x^{2}-ay^{2}=1$

se trouvent nécessairement parmi les nombres $\mathrm {M,M',M'',\ldots }$ et $\mathrm {N,N',N'',\ldots } ,$ qui forment les fractions $\mathrm {{\frac {M}{N}},{\frac {M'}{N'}},{\frac {M''}{N''}}} ,\ldots ,$ convergentes vers la racine de $a,$ mais toujours plus grandes que cette racine (n^o 1) ; c’est-à-dire que chacun des nombres $x$ est nécessairement égal à quelqu’un des termes de la série $\mathrm {M,M',M'',\ldots }$ et que le nombre correspondant y est égal au terme correspondant de la série $\mathrm {N,N',N'',\ldots } ,$ en sorte que la fraction ${\frac {x}{y}}$ sera toujours une de celles dont nous venons de parler.

Pour pouvoir démontrer cette proposition, je commencerai par prouver que si $y$ est égal à un terme quelconque de la série $\mathrm {N,N',N'',\ldots } ,$ $x$ sera nécessairement égal au terme correspondant de la série $\mathrm {M,M',}$